椭圆常用结论及其推导过程

椭 圆 中 重 要 结 论 一 椭 圆 中 的 一 些 不 等 关 系 （ 1） 设 椭 圆 （22221(0)xyabab） ，00(,)P x y是 椭 圆 上 任 意 一 点 ，12,F F 为椭 圆 的 两 个 焦 点 ， 则 ： ① 0axa ，0byb  例 已知12,F F 是 椭 圆2222:1(0)xyCabab的 左右焦 点 ，P 是 椭 圆 上 的 一 点 且212PF PFc， 则 此椭 圆 离心率的 范围是______.32[,]32 ② bPOa（ 其中 上 下顶点 距离坐标原点 最近， 左右顶点 距离坐标原点 最远） ③122PFPFc. 例 若椭 圆 上 存在一 点 P ， 使得 P 到两 个 焦 点 的 距离之比为 2:1， 则 此椭 圆 离心率的 取值范围是 ______. 1[ ,1)3 ④到左焦点最近的点是左顶点，最远的是右顶点.到右焦点最近的是右顶点，最远的是左顶点. 例 已知椭圆2222:1(0)xyCabcab的左右焦点分别为12,F F ，若以2F 为圆心，bc 为半径作圆2F ，过椭圆上一点 P 作此圆的切线，切点为T ，且 PT 的最小值不小于3 ()2ac，则椭圆的离心率取值范围为 ______. 32[ ,)52 ④过椭圆焦点的所有弦中通径(垂直于焦点的弦)最短，通径为ab 22 二 椭圆焦点三角形的结论 （1）已知椭圆方程为),0(12222babyax两焦点分别为,,21 FF设焦点三角形21FPF中,21 PFF则2tan221bSPFF 例 已知12,F F 是椭圆22221(0)xyabab的两个焦点， P 为椭圆上一点，且12PFPF，若12PF F 面积为9，则短轴长为_____.3 练 习 椭 圆22194xy 的 焦 点 为12,F F ， 点 P 为 其 上 的 动 点 ， 当12F PF为 钝 角 时 ，点 P 的 横 坐 标 的 取 值 范 围 为 _______. 3 5 3 5(,)55 （ 2） 已 知 椭 圆 方 程 为),0(12222babyax左 右 两 焦 点 分 别 为,,21 FF设 焦 点 三角 形21FPF， 若12PFPF 最 大 ， 则 点P 为 椭 圆 短 轴 的 端 点 ， 且 最 大 值 为2a . 例 已 知 椭 圆)0(12222babyax的 两 焦 点 分 别 为,,21 FF若 椭 圆 上 存 在 一点,P使得2122PFPFb， 则 椭 圆 的 离心率 e的 取 值 范 围 _________.2[,1)2 （ 3） 已 知 椭 圆 方 程 为),0(12222babyax左 右 两 焦 点 分 别 为,,21 F...