第5 讲 椭圆的性质及应用 一、知识梳理 1、椭圆的标准方程和几何性质 图形 标准方程 x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0) y2a2＋x2b2＝1(a＞b＞0) 性 质 焦点 F1(－c,0)，F2(c,0) F1(0，－c)，F2(0，c) 范围 －a≤x≤a－b≤y≤b －b≤x≤b－a≤y≤a 对称性 对称轴：坐标轴 对称中心：原点 顶点 A1(－a,0)，A2(a,0)，B1(0，－b)，B2(0，b) A1(0，－a)，A2(0，a)，B1(－b,0)，B2(b,0) 轴 长轴A1A2 的长为2a 短轴B1B2 的长为2b 焦距 |F1F2|＝2c 离心率 e＝ca∈(0,1) a，b，c 的关系 a2＝b2＋c2 2、椭圆的几何性质分为两类 （1）一类是与坐标系无关的椭圆本身故有的性质：长轴长、短轴长、焦距、离心率等. （2）一类是与坐标系有关的性质：顶点坐标、焦点坐标等. 在解题时要特别注意第二类性质，应根据椭圆方程的形式，首先判断椭圆的焦点在哪条坐标轴上，然后再进行求解. 问题 为什么椭圆的离心率决定椭圆的扁平程度？ 提示：椭圆的离心率反映了焦点远离中心的程度，e 的大小决定了椭圆的形状，反映了椭圆的圆扁程度． 因为a2＝b2＋c2，所以ba＝1－e2，因此，当e 越趋近于1 时，ba越接近于0，椭圆越扁；当e 越趋近于0 时，ba越接近于1，椭圆越接近于圆． 题型（一） 求椭圆的离心率 例1 （1）下列椭圆中最扁的一个是（ ） A． B． C． D． 【解答】解：椭圆的离心率越小，椭圆越圆，越大，离心率越大，椭圆越扁，越小， A 中＝，B 中＝，C 中＝，D 中＝， 故选：B． （2）若椭圆的两个焦点与短轴的一个端点构成一个正三角形，则该椭圆的离心率为________． 解析： 依题意，△BF1F2 是正三角形， 在Rt△OBF2 中，|OF2|＝c，|BF2|＝a，∠OF2B＝60°，∴acos 60°＝c，∴ca＝12， 即椭圆的离心率 e＝12.，答案： 12 （3）如图，设椭圆的右顶点为A，右焦点为F，B 为椭圆在第二象限上的点，直线BO 交椭圆于C 点，若直线BF 平分线段AC 于M，则椭圆的离心率是（ ） A． B． C． D． 【解答】解：如图，设AC 中点为M，连接OM，则OM 为△ABC 的中位线， ∴OM∥AB，于是△OFA∽△AFB，且＝＝，即＝，可得e＝＝． 故选：C． （4）《九章算术）是我国古代内容极为丰富的数学名著第九章“勾股”，讲述了“勾股定理及一些应用．直角三角形的两直角边与斜边的长分别称“勾”“股”“弦”，且“勾 2+股 2＝弦 2”．设F 是椭圆＝1（a＞b＞0）的左焦点，直线y＝x 交椭圆于A、B ...
