椭圆的简单几何性质典型例题

1 / 2 0 典型例题一 例1 椭圆的一个顶点为02 ，A，其长轴长是短轴长的2 倍，求椭圆的标准方程． 分析：题目没有指出焦点的位置，要考虑两种位置． 解：（1 ）当02 ，A为长轴端点时，2a，1b， 椭圆的标准方程为：11422 yx； （2 ）当02 ，A为短轴端点时，2b，4a， 椭圆的标准方程为：11 6422 yx； 说明：椭圆的标准方程有两个，给出一个顶点的坐标和对称轴的位置，是不能确定椭圆的横竖的，因而要考虑两种情况． 典型例题二 例2 一个椭圆的焦点将其准线间的距离三等分，求椭圆的离心率． 解：31222cac ∴223ac， ∴3331 e． 说明：求椭圆的离心率问题，通常有两种处理方法，一是求a ，求c ，再求比．二是列含 a 和c 的齐次方程，再化含 e 的方程，解方程即可． 典型例题三 例3 已知中心在原点，焦点在x 轴上的椭圆与直线01  yx交于 A 、B 两点，M为AB 中点，OM 的斜率为0 .2 5 ，椭圆的短轴长为2 ，求椭圆的方程． 解：由题意，设椭圆方程为1222 yax， 2 / 2 0 由101222yaxyx，得021222xaxa， ∴222112aaxxxM，2111axyMM， 4112 axykMMOM，∴42 a， ∴1422 yx为所求． 说明：（1 ）此题求椭圆方程采用的是待定系数法；（2 ）直线与曲线的综合问题，经常要借用根与系数的关系，来解决弦长、弦中点、弦斜率问题． 典型例题四 例 4 椭圆192 522 yx上不同三点 11yxA，， 594 ，B，22yxC，与焦点 04 ，F的距离成等差数列． （1 ）求证821 xx； （2 ）若线段 AC 的垂直平分线与 x 轴的交点为T ，求直线 BT 的斜率 k ． 证明：（1 ）由椭圆方程知5a，3b，4c． 由圆锥曲线的统一定义知：acxcaAF12， ∴ 11545xexaAF． 同理 2545xCF． BFCFAF2，且59BF， ∴ 51 854554521xx， 即 821 xx． （2 ）因为线段 AC 的中点为2421yy，，所以它的垂直平分线方程为 3 / 2 0 42212121xyyxxyyy． 又 点T 在x 轴上，设其坐标为00，x，代入上式，得 212221024xxyyx 又 点11yxA，，22yxB，都在椭圆上， ∴ 21212 52 59xy 22222 52 59xy...