概率论与数理统计习题解答(第4章)

第4 章习题答案 三、解答题 1. 设随机变量X 的分布律为 X – 2 0 2 pi 0.4 0.3 0.3 求)(XE，)(2XE，)53(XE． 解：E (X ) = 1iixp = 24.0+03.0+23.0= -0.2 E (X 2 ) = 12iipx= 44.0+ 03.0+ 43.0= 2.8 E (3 X +5) =3 E (X ) +5 =3 2.0+5 = 4.4 2. 同时掷八颗骰子，求八颗骰子所掷出的点数和的数学期望． 解：记掷1 颗骰子所掷出的点数为Xi，则Xi 的分布律为 6,,2,1,6/1}{iiXP 记掷8 颗骰子所掷出的点数为X ，同时掷8 颗骰子，相当于作了8 次独立重复的试验， E (Xi ) =1/6×(1+2+3+4+5+6)=21/6 E (X ) =8×21/3=28 3. 某图书馆的读者借阅甲种图书的概率为p1，借阅乙种图书的概率为p2，设每人借阅甲乙图书的行为相互独立，读者之间的行为也是相互独立的． (1) 某天恰有 n 个读者，求借阅甲种图书的人数的数学期望． (2) 某天恰有 n 个读者，求甲乙两种图书至少借阅一种的人数的数学期望． 解：(1) 设借阅甲种图书的人数为X ，则X~B(n, p1),所以 E (X )= n p1 (2) 设甲乙两种图书至少借阅一种的人数为Y , 则Y ~B(n, p), 记A ={借甲种图书}， B ={借乙种图书}，则p =｛A ∪ B｝= p1+ p2 - p1 p2 所以 E (Y )= n (p1+ p2 - p1 p2 ) 4. 将 n 个考生的的录取通知书分别装入 n 个信封，在每个信封上任意写上一个考生的姓名、地址发出，用 X 表示 n 个考生中收到自己通知书的人数，求E(X)． 解：依题意，X~B(n，1/n)，所以 E (X ) =1. 5. 设)(~PX，且}6{}5{XPXP，求E(X)． 解：由题意知 X～P（ ），则X 的分布律P kX =ekk!，k = 1,2,... 又 P5X=P6X, 所以  ee!6!565 解得 6，所以E(X) = 6. 6. 设随机变量X 的分布律为,,4,3,2,1,6}{22kkkXP问X 的数学期望是否存在？ 解：因为级数11212112211)1(6)6)1(()6)1((kkkkkkkkkk， 而 11kk发散，所以X 的数学期望不存在. 7. 某城市一天的用电量X（十万度计）是一个随机变量，其概率密度为 .0,0,91)(3/其它xx exfx 求一天的平均耗电量． 解：E(X) =03/203/9191)(dxexdxxexdxxfxxx=6. 8. 设某种家电的寿命 X（以年计）是一个随...