1 欧拉法求微分方程 方法说明 欧拉(Euler)法是解常微分方程初值问题 (4.1) 最简单的数值方法，其具体做法是，将区间[a，b]进行N 等分： ，步长 .并将式(4.1)写成等价的积分形 式 （4.2） 再对式(4.2)右端积分用矩形公式计算，则有 , (4.3) 在式(4.3)右端取，舍去余项。则得 , 作为的近似值。 在式(4.3)右端取，舍去余项，则得 ᵆ2 = ᵆ1 + ℎᵅ（ᵆ1，ᵆ1） 作为的近似值． 一般地，在式(4.3)右端取舍去余项，则得 (4.4) 作为 的近似值．式(4.4)为欧拉法计算公式． 我们知道微分方程的解是平面上的一族积分曲线，这族曲线中过点的积分曲线就是初值问题式(4.1)的解． 欧拉法的几何意义是，过点引斜率为的积分曲线的切线，此切线与直线的交点为，再过点引以为斜率的切线与直线的交点为，依此类推，从出发，作以为斜率的切线，此切线与直线交点为．于是便得到过点的一条折线，见图 4.1．过的积分曲线则用此折线来代替．因此，这种方法亦称折线法． 图 4.1 例：用欧拉法求微分方程[]2', (0) 1,0.1,0,1xyyyhy区间为= -== 欧拉法流程图如下: 欧拉法程序如下： clear; clc; x1=0; x2=1; h=0.1; x0=0; y0=1; N=(x2-x1)/h;%要计算的次数 x(1)=x0; y(1)=y0; for n=1:N x(n+1)=x(n)+h; x 0+h=>x 1 y 0+h*f(x 0,y 0)=>y 1 n =1 输出 x 1,y 1 n =1+n x 1=> x 0 y 1=> y 0 结束 n =N ? 读入 x 0,y 0,b,h 开始 计算 N=fix ((b-x 0)/h) y(n+1)=y(n)+h*(y(n)-2*x(n)/y(n)); end X=x Y=y 2 改进欧拉法求微分方程 方法说明 由于欧拉法采用矩形公式计算积分产生较大截断误差．改进欧拉法(又称改进折线法)是采取梯形公式来计算式(4.3)右端积分，则有 （5.1） 在式(5.1)右端取，舍去余项，则得 将作为的近似值． 在式(5.1)右端再取，舍去余项，则得 将作为的近似值． 一般地，在式(5.1)右端取，舍去余项．则得 (5.2) 将作为 的近似值． 式(5.2)为改进欧拉法计算公式． 流程图如下： 例：用改进欧拉法求微分方程[ ]2', (0 ) 1 ,0 .1 ,0 ,1xyyyhy区间为= -== 改进欧拉法程序如下： clear; clc; x1=0; x2=1; h=0.1; x0=0; y0=1; p(1)=0; N=(x2-x1)/h; x(1)=x0; y(1)=y0; for n=1:N x(n+1)=x(n)+h; y(n+1)=y(n)+h*(y(n)-2*x(n)/y(n)); p(n+1)=y(n)+h*(y(n+1)-2*x(n)/y(n+1)); y(n+1)=(y(n+1)+p(n+1))/2; end X=x Y=y 3 斐波那...
