正余弦定理与三角形面积公式(2009-7-7 16:45:00) 【收藏】 【评论】 【打印】 【关闭】 这两天在看代码时发现关于三角形的这些基本定理和公式很有用，所以从网上搜了下，主要有三角形的正弦定理，余弦定理，以及三角形面积公式（包括海伦公式）。 正弦定理（引自百度百科） Sine theorem 在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等。 即a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R（2R在同一个三角形中是恒量，是此三角形外接圆的半径的两倍） 这一定理对于任意三角形ABC，都有 a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R R为三角形外接圆半径 证明 步骤1. 在锐角△ABC 中，设BC=a,AC=b,AB=c。作CH⊥AB 垂足为点H CH=a·sinB CH=b·sinA ∴a·sinB=b·sinA 得到 a/sinA=b/sinB 同 理 ， 在 △ ABC 中 ， b/sinB=c/sinC 步 骤 2. 证 明 a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R： 如 图 ， 任 意 三 角 形 ABC,作 ABC 的 外 接 圆 O. 作 直 径 BD 交 ⊙ O 于 D. 连 接 DA. 因 为 直 径 所 对 的 圆 周 角 是 直 角 ,所 以 ∠ DAB=90 度 因 为 同 弧 所 对 的 圆 周 角 相 等 ,所 以 ∠ D 等 于 ∠ C. 所 以 c/sinC＝ c/sinD=BD=2R 类 似 可 证 其 余 两 个 等 式 。 意 义 正 弦 定 理 指 出 了 任 意 三 角 形 中 三 条 边 与 对 应 角 的 正 弦 之 间 的 一 个 关 系 式 ， 又 由 正 弦 函 数 在 区 间 上 的 单 调 性 可 知 ， 正 弦 定 理 非 常 好 的 描 述 了 任 意 三 角 形 中 边 与 角 的 一 种 数 量 关 系 。 余 弦 定 理 余 弦 定 理 是 揭 示 三 角 形 边 角 关 系 的 重 要 定 理 ， 直 接 运 用 它 可 解 决 一 类 已 知 三 角 形 两 边 及 夹 角 求 第 三 边 或 者 是 已 知 三 个边 求 角 的 问 题 ， 若 对 余 弦 定 理 加 以 变 形 并 适 当 移 于 其 它 知 识 ， 则 使 用 起 来 更 为 方 便 、 灵 活 。 对 于 任 意 三 角 形 三 边 为 a,b,c 三 角 为 A,B,C 满 足 性 质 (注 ： a*b、 a*c就 是 a 乘 b、 a 乘 c 。 a^2、 b^2、 c^2 就 是 a 的 平 方 ， b 的 平 方 ， c 的 平 方 。 ) a^2=b^2+c^2-2*b*c...
