求数列通项公式及数列求和的几种方法

数列知识点及方法归纳 1. 等差数列的定义与性质 定义：1nnaad （d 为常数）， 11naand 等差中项：xAy，，成等差数列2 Axy 前n项和11122nnaann nSnad 性质： na 是等差数列 （1 ）若mnpq ，则mnpqaaaa ； （2 ）数列12212,,nnnaaa仍为等差数列，232nnnnnSSSSS，，…… 仍为等差数列，公差为dn 2； （3 ）若三个成等差数列，可设为adaad，， （4 ）若nnab，是等差数列，且前n项和分别为nnST，，则 2121mmmmaSbT （5 ） na 为等差数列2nSanbn（ab，为常数，是关于n的常数项为0 的二次函数） nS 的最值可求二次函数 2nSanbn的最值；或者求出 na 中的正、负分界项， 即：当100ad，，解不等式组100nnaa可得nS 达到最大值时的n值. 当100ad，，由100nnaa可得nS 达到最小值时的n值. (6 )项数为偶数n2的等差数列 na ，有 ),)(()()(11122212为中间两项nnnnnnnaaaanaanaanS ndSS奇偶，1nnaaSS偶奇. （7 ）项数为奇数12n的等差数列 na ，有 )()12(12为中间项nnnaanS， naSS偶奇，1 nnSS偶奇. 2. 等比数列的定义与性质 定义：1nnaqa （q为常数，0q ），11nnaaq . 等比中项：xGy、 、 成等比数列2Gxy，或Gxy. 前n项和： 11(1 )1(1 )1nnna qSaqqq（要注意！） 性质： na 是等比数列 （1 ）若 mnpq ，则mnpqaaaa·· （2 ）232nnnnnSSSSS，，…… 仍为等比数列,公比为nq . 注意：由nS 求na 时应注意什么？ 1n 时，11aS； 2n 时，1nnnaSS. 3．求数列通项公式的常用方法 （1 ）求差（商）法 例：数列 na ，12211125222nnaaan……，求na ［练习］数列 na 满足111543nnnSSaa，，求na （2 ）叠乘法 ①数列 na 中，1131nnanaan，，求na （3 ）等差型递推公式 由110()nnaafnaa， ，求na ，用迭加法 2n 时，21321(2 )(3)( )nnaafaafaaf n…… ……两边相加得1(2 )(3)( )naafffn…… ∴0(2 )(3)( )naafffn…… ［练习］数列 na 中，111132nnnaaan...