求通项公式和数列求和的常用方法

- 1 - 求递推数列通项公式的常用方法 一 公式法：利用熟知的的公式求通项公式的方法称为公式法，常用的公式有1nnnaSS(2)n ，等差数列或等比数列的通项公式。 例一 已知无穷数列 na的前n 项和为nS ，并且*1()nnaSnN，求 na的通项公式？ 【解析】：Q 1nnSa ， 111nnnnnaSSaa， 112nnaa ，又112a ，  12nna . 反思：利用相关数列 na与 nS的关系：11aS,1nnnaSS(2)n 与提设条件，建立递推关系，是本题求解的关键. 跟踪训练 1.已知数列 na的前n 项和nS ，满足关系1lgnSn(1,2)n  .试证数列 na是等比数列. 二 归纳法：由数列前几项用不完全归纳猜测出数列的通项公式，再利用数学归纳法证明其正确性，这种方法叫归纳法. 例二 已知数列 na中，11a ，121(2)nnaan，求数列 na的通项公式. 【解析】：Q11a  ，121(2)nnaan，2121aa3，3221aa7 猜测21nna *()nN，再用数学归纳法证明.（略） 反思：用归纳法求递推数列，首先要熟悉一般数列的通项公式，再就是一定要用数学归纳法证明其正确性. 跟踪训练 2.设 na是正数组成的数列，其前n 项和为nS ，并且对于所有自然数n ，na 与 1 的等差中项等于nS与 1 的等比中项，求数列 na的通项公式. 三 累 加 法：利用1211()()nnnaaaaaa求通项公式的方法称为累 加 法。 累 加 法是 求型 如1( )nnaaf n 的递推数列通项公式的基本方法（( )f n可求前n 项和）. 例三 已知无穷数列 na的的通项公式是12nna ，若数列 nb满足11b  ，(1)n ，求数列 nb的通项公式. 【解析】：11b  ,112nnnbb (1)n ,1211()()nnnbbbbbb=1+ 12 ++ 112n =1122n . 反思:用累加法求通项公式的关键是将递推公式变形为1( )nnaaf n . - 2 - 跟踪训练3.已知112a ,112nnnaa *()nN,求数列 na通项公式. 四 累乘法:利用恒等式321121(0,2)nnnnaaaaaana aa求通项公式的方法称为累乘法,累乘法是求型如: 1( )nnag n a 的递推数列通项公式的基本方法(数列( )g n可求前n 项...