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用坐标系解立体几何常见方法

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温新堂一对一个性化教学 为了孩子的未来---温新堂教育 - 1 - 建立空间直角坐标系,解立体几何高考题 立体几何重点、热点: 求线段的长度、求点到平面的距离、求直线与平面所成的夹角、求两异面直线的夹角、求二面角、证明平行关系和垂直关系等. 常用公式: 1、求线段的长度:222zyxABAB212212212zzyyxx 2、求P 点到平面 的距离:||||nnPMPN,(N 为垂足,M 为斜足,n 为平面 的法向量) 3、求直线l 与平面 所成的角:|||||||sin|nPMnPM,(lPM ,M, n 为 的法向量) 4、求两异面直线AB 与CD 的夹角:||||||cosCDABCDAB 5、求二面角的平面角 :|||||||cos|2121nnnn,( 1n ,2n 为二面角的两个面的法向量) 6、求二面角的平面角 :SS射影cos,(射影面积法) 7、求法向量:①找;②求:设ba, 为平面 内的任意两个向量,)1,,(yxn 为 的法向量, 则由方程组00nbna,可求得法向量n . 温新堂一对一个性化教学 为了孩子的未来---温新堂教育 - 2 - 高中新教材9(B)引入了空间向量坐标运算这一内容,使得空间立体几何的平行﹑垂直﹑角﹑距离等问题避免了传统方法中进行大量繁琐的定性分析,只需建立空间直角坐标系进行定量分析,使问题得到了大大的简化。而用向量坐标运算的关键是建立一个适当的空间直角坐标系。 一﹑直接建系。 当图形中有互相垂直且相交于一点的三条直线时,可以利用这三条直线直接建系。 例1 . (2002 年全国高考题)如图,正方形ABCD﹑ABEF 的边长都是1,而且平面ABCD﹑ABEF 互相垂直。点M 在AC 上移动,点N 在BF 上移动,若CM=BN=a(20 a)。 (1)求MN 的长; (2)当a 为何值时,MN 的长最小; (3)当MN 最小时,求面MNA 与面MNB 所成二面角α的大小。 解:(1)以B 为坐标原点,分别以BA﹑BE﹑BC 为x﹑y﹑z 轴建立如图所示的空间直角坐标系B-xyz,由 CM=BN=a,M(a22,0,a221),N(a22,a22,0) ∴ MN =(0,a22, 122a) ∴ MN=22)22()122(aa =21)22(2 a(20 a) (2)由(1)MN=21)22(2 a 所以,当a= 22 时,minMN= 22 , 即 M﹑N 分别移动到AC﹑BF 的中点时,MN 的长最小,最小值为22 。 (3)取 MN 的中点P,连结 AP﹑BP,因为AM=AN,BM=BN, 所以AP⊥MN,BP⊥MN,∠APB 即为二面角α...

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