用空间向量解立体几何题型与方法

第 1 页 共 2 0 页 用 空 间 向 量 解 立 体 几 何 题 型 与方法 平 行 垂 直 问 题 基 础 知 识 直 线 l 的 方 向 向 量 为 a＝ (a1， b1， c1)． 平 面 α， β的 法 向 量 u＝ (a3， b3， c3)， v＝ (a4，b4， c4) (1)线 面 平 行 ： l∥α⇔a⊥u⇔a·u＝ 0⇔a1a3＋ b1b3＋ c1c3＝ 0 (2)线 面 垂 直 ： l⊥α⇔a∥u⇔a＝ ku⇔a1＝ ka3， b1＝ kb3， c1＝ kc3 (3)面 面 平 行 ： α∥β⇔u∥v⇔u＝ kv⇔a3＝ ka4， b3＝ kb4， c3＝ kc4 (4)面 面 垂 直 ： α⊥β⇔u⊥v⇔u·v＝ 0⇔a3a4＋ b3b4＋ c3c4＝ 0 例 1、 如 图 所 示 ， 在 底 面 是 矩 形 的 四 棱 锥 P­ABCD中 ， PA⊥底 面 ABCD， E， F 分 别 是 PC，PD 的 中 点 ， PA＝ AB＝ 1， BC＝ 2. (1)求 证 ： EF∥平 面 PAB； (2)求 证 ： 平 面 PAD⊥平 面 PDC. [证 明 ] 以 A 为 原 点 ， AB， AD， AP 所 在 直 线 分 别 为 x 轴 ， y 轴 ， z 轴 ， 建 立 空 间 直 角 坐 标系 如 图 所 示 ， 则A(0,0,0)， B(1,0,0)， C(1,2,0)， D(0,2,0)， P(0,0,1)， 所 以E12， 1，12 ，F0， 1，12 ， EF ＝－12， 0， 0 ， PB ＝ (1,0， － 1)， PD ＝ (0,2， － 1)， AP ＝ (0,0,1)，AD ＝ (0,2,0)， DC ＝ (1,0,0)， AB ＝ (1,0,0)． (1)因 为 EF ＝ －12 AB ， 所 以 EF ∥ AB ， 即 EF∥AB. 又 AB⊂平 面 PAB， EF⊄ 平 面 PAB， 所 以 EF∥平 面 PAB. (2)因 为 AP · DC ＝ (0,0,1)·(1,0,0)＝ 0， AD · DC ＝ (0,2,0)·(1,0,0)＝ 0， 所 以 AP ⊥ DC ， AD ⊥ DC ， 即 AP⊥DC， AD⊥DC. 又 AP∩ AD＝ A， AP⊂平 面 PAD， AD⊂平 面 PAD， 所 以 DC⊥平 面 PAD.因 为 DC⊂平 面PDC， 所 以 平 面 PAD⊥平 面 PDC. 第 2 页 共 2 0 页 使 用 空 间 向 量 方 法 证 明 线 面 平 行 时 ，既 可 以 证 明 直 线 的 方 向 向 量 和 平 面 内 一 条 直 线 的 方向 向 量 平 行 ， 然 后 根 据 线 面 平 行 的 判 定 定 理 得 到 线 面 平 行 ， 也...