直线、平面平行与垂直的判定及其性质(证明题详解)

1 直线、平面平行与垂直的判定及其性质 7. 在四棱锥P－ABCD 中，四边形ABCD 是梯形，AD∥BC，∠ABC=90°，平面PAB⊥平面ABCD， 平面PAD⊥平面ABCD. （1）求证：PA⊥平面ABCD； （2）若平面PAB平面PCDl ，问：直线l能否与平面ABCD 平行？ 请说明理由. 【 解 析 】（ 1） 因 为 ∠ABC=90°， AD∥BC， 所 以 AD⊥AB. 而 平 面 PAB⊥平 面 ABCD， 且 平 面 PAB平 面ABCD=AB, 所 以 AD⊥平 面 PAB, 所 以 AD⊥PA. 同 理 可 得 AB⊥PA. 由 于 AB、AD 平 面 ABCD， 且 ABAD=A,所 以 PA⊥平 面ABCD. （ 2）（ 方法一） 不平 行. 证明：假定直线 l∥平 面 ABCD, 由 于 l 平 面 PCD， 且 平 面 PCD平 面 ABCD=CD, 所 以 l ∥CD. 同 理 可 得 l∥AB, 所 以 AB∥CD. 这与 AB 和 CD 是直角梯形 ABCD 的两腰不平 行相矛盾, 故假设错误， 所 以 直线 l与平 面 ABCD 不平 行. （ 方法二） 因 为 梯形 ABCD 中 AD∥BC, 所 以 直线 AB 与直线 CD 相交， 设 ABCD=T. 由 TCD， CD 平 面 PCD 得 T平 面 PCD. 同 理 T平 面 PAB. 即 T 为 平 面 PCD 与平 面 PAB 的公共点， 于 是 PT 为 平 面 PCD 与平 面 PAB 的交线. 所 以 直线l 与平 面 ABCD 不平 行. D C P A B （第 16 题） 2 8. 如图，在三棱柱111ABCA B C中，11,,ABBC BCBC ABBC，,,E F G 分别为线段1111,,AC AC BB 的中点，求证： （1）平面 ABC  平面1ABC ; （2）//EF面11BCC B ； （3）GF  平面11AB C 【 解 析 】 (1) BCAB 11BCBCABBCB BC平 面1ABC BC  平 面 ABC 平 面 ABC  平 面1ABC (2)111,AEEC A FFC,1//EFAA 11//BBAA 1//EFBB 11EFBCC B 面//EF面11BCC B ； (3)连 接 EB ， 则 四 边 形 EFG B 为 平 行 四 边 形 11111111111111BEFGACEBACFGACBCABCB CABCB CB CB CC面面, GF 平 面11AB C 。 A B C A1 B1 C1 E F G A B C A1 B1 C1 E F G 3 9. 在四棱锥O －ABCD 中，底面ABCD 为菱形，O A⊥平面ABCD，E 为O A 的中点，F 为BC 的中点，求证： （1）平面BDO ⊥平面ACO ； （2）EF//平面O CD. 【解析】证明...