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直线、平面平行与垂直的判定及其性质(证明题详解)

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1 直线、平面平行与垂直的判定及其性质 7. 在四棱锥P-ABCD 中,四边形ABCD 是梯形,AD∥BC,∠ABC=90°,平面PAB⊥平面ABCD, 平面PAD⊥平面ABCD. (1)求证:PA⊥平面ABCD; (2)若平面PAB平面PCDl ,问:直线l能否与平面ABCD 平行? 请说明理由. 【 解 析 】( 1) 因 为 ∠ABC=90°, AD∥BC, 所 以 AD⊥AB. 而 平 面 PAB⊥平 面 ABCD, 且 平 面 PAB平 面ABCD=AB, 所 以 AD⊥平 面 PAB, 所 以 AD⊥PA. 同 理 可 得 AB⊥PA. 由 于 AB、AD 平 面 ABCD, 且 ABAD=A,所 以 PA⊥平 面ABCD. ( 2)( 方法一) 不平 行. 证明:假定直线 l∥平 面 ABCD, 由 于 l 平 面 PCD, 且 平 面 PCD平 面 ABCD=CD, 所 以 l ∥CD. 同 理 可 得 l∥AB, 所 以 AB∥CD. 这与 AB 和 CD 是直角梯形 ABCD 的两腰不平 行相矛盾, 故假设错误, 所 以 直线 l与平 面 ABCD 不平 行. ( 方法二) 因 为 梯形 ABCD 中 AD∥BC, 所 以 直线 AB 与直线 CD 相交, 设 ABCD=T. 由 TCD, CD 平 面 PCD 得 T平 面 PCD. 同 理 T平 面 PAB. 即 T 为 平 面 PCD 与平 面 PAB 的公共点, 于 是 PT 为 平 面 PCD 与平 面 PAB 的交线. 所 以 直线l 与平 面 ABCD 不平 行. D C P A B (第 16 题) 2 8. 如图,在三棱柱111ABCA B C中,11,,ABBC BCBC ABBC,,,E F G 分别为线段1111,,AC AC BB 的中点,求证: (1)平面 ABC  平面1ABC ; (2)//EF面11BCC B ; (3)GF  平面11AB C 【 解 析 】 (1) BCAB 11BCBCABBCB BC平 面1ABC BC  平 面 ABC 平 面 ABC  平 面1ABC (2)111,AEEC A FFC,1//EFAA 11//BBAA 1//EFBB 11EFBCC B 面//EF面11BCC B ; (3)连 接 EB , 则 四 边 形 EFG B 为 平 行 四 边 形 11111111111111BEFGACEBACFGACBCABCB CABCB CB CB CC面面, GF 平 面11AB C 。 A B C A1 B1 C1 E F G A B C A1 B1 C1 E F G 3 9. 在四棱锥O -ABCD 中,底面ABCD 为菱形,O A⊥平面ABCD,E 为O A 的中点,F 为BC 的中点,求证: (1)平面BDO ⊥平面ACO ; (2)EF//平面O CD. 【解析】证明...

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