直线的参数方程的几何意义

课 题 直线的参数方程的几何意义 教学目标 要 求 与直线的参数方程有关的典型例题 教学重难点 分 析 与直线的参数方程有关的典型例题 知识要点概述 （1）定义：过定点),(000yxM、倾斜角为 的直线l 的参数方程为sincos00tyytxx（t 为参数），其中 t 表示直线l 上以定点0M 为起点，任意一点M（x，y）为终点的有向线段MM0的数量， （2）的几何意义：直线上点到 M 的距离.此时,若 t>0,则的方向向上;若 t<0,则的方向向下;若 t=0,则点与点M 重合. （3）参数t的性质： 若直线l 上两点A、B 所对应的参数分别为BA tt ,，则 性质一：A、B 两点之间的距离为||||BAttAB，特别地，A、B 两点到0M 的距离分别为.|||,|BAtt 性质二：A、B 两点的中点所对应的参数为2BAtt，若0M 是线段 AB 的中点，则 0BAtt，反之亦然。 精编例题讲练 一、求直线上点的坐标 例1．一个小虫从 P（1，2）出发，已知它在 x 轴方向的分速度是−3，在 y 轴方向的分速度是 4，问小虫 3s 后的位置 Q。 分析：考虑 t 的实际意义，可用直线的参数方程x = x 0 +at，y = y 0 +bt(t 是参数)。 解：由题意知则直线PQ 的方程是x = 1 − 3 t，y = 2 + 4 t ，其中时间 t 是参数，将 t=3s 代入得 Q（−8，12）。 例2．求点A（−1，−2）关于直线l：2x −3y +1 =0 的对称点A' 的坐标。 解：由条件，设直线AA' 的参数方程为 x = −1 − 213 t ，y = −2 + 313 t(t 是参数)， A 到直线l 的距离d = 513， ∴ t = AA' = 1013， 代入直线的参数方程得 A' (− 3313，413)。 点评：求点关于直线的对称点的基本方法是先作垂线，求出交点，再用中点公式，而此处则是充分利用了参数 t 的几何意义。 二 求定点到过定点的直线与其它曲线的交点的距离 例1.设直线经过点(1,5),倾斜角为, 1)求直线和直线的交点到点的距离; 2)求直线和圆的两个交点到点的距离的和与积. 解:直线的参数方程为( t 为参数) 1)将直线的参数方程中的x,y 代入,得 t=.所以,直线和直线的交点到点的距离为 2)将直线的方程中的x,y 代入,得设此方程的两根为,则==10.可知均为负值,所以= 点评：解决本题的关键一是正确写出直线的参数，二是注意两个点对应的参数的符号的异同。 三 求直线与曲线相交的弦长 例1 过抛物线 的焦点作斜角为的直线与抛物...