矩阵方幂的若干求法

矩阵方幂的若干求法 矩阵方幂在高等代数题解、矩阵稳定性讨论及预测、控制等方面有广泛的应用，它的求解原理贯穿于代数教学过程的始终，可以用到矩阵各方面的知识。其计算量往往较大，但方法适当，可大大简化其计算难度。本文将给出六种求矩阵方幂地方法。 一、秩为 1 的情况 要点 当n 级矩阵A 的秩 ( )1r A  时，矩阵A 可以写成n 维列向量 p 和n 维行向量q的乘积：Apq。利用矩阵乘法的结合率有：1()()kkkApqp qpq，其中 pq 是11 矩阵，即是一个数。所以有1()kkApqA。 例：设121363242A，求kA （k 为自然数）。 解 先观察 A 容易发现矩阵A 的第二列、第三列与第一列成比例，故矩阵A 的秩( )1r A  ，可以采用上述方法。121136331212422A， ，，令132p ，121q ， ，， pqA，且9qp （常数），于是11()()9kkkkApqp qpqA。 例：设111123421213233312444213A 求kA 。 解 同 样 易 知( )1r A 故 可 以 表 示 为 Apq, 其 中1234Tp ， ， ，，1111234q ，，，且4qp ，所以有11()()4kkkkApqp qpqA。 二、可分解为数量矩阵和零幂矩阵之和的情况 要点 观察推敲矩阵A ，看其是否可以分解为一个数量矩阵E与一个零幂矩阵P 之和，即 AEP，其中mP  ，但1mP   ，因为数量矩阵E和 P 可以交换，于是由二项式定理得 100nnnn knkn kknnn mmkknnnAEPEPPnPPkkm      ……。 例：已知矩阵2400120000240002A ，求nA 。 解 观察矩阵 A 的特点，可先将其分块写成 AC ，其中2412  ，2402C ，则nnnAC ，下面就先求n 和nC 。 显然 ( )1r   ，即pq ，这里21p    ，1,2q ，且4qp ，所以14nn  。 至于2404220200CP    ，0400  满足2   ，代入上述给出的二项式公式...