线性代数 第三章 矩阵的初等变换与线性方程组 1 第三章 矩阵的初等变换与线性方程组 本章的重点是研究矩阵更深层的性质——秩，它是矩阵理论的核心概念，是由德国数学家佛洛本纽斯在1879年首先提出的。为了研究矩阵秩的概念，首先要介绍一个重要的工具———矩阵的初等变换概念，它不仅解决了求矩阵秩的问题，还是帮助求解线性方程组、求逆阵、判定向量组相关性等的有力工具，然后我们将应用秩理论解决方程组的求解问题，最后还要将初等变换概念在理论层次上加以提炼，即介绍初等方阵的概念。 §1 矩阵的初等变换 矩阵的初等变换是矩阵之间的一种十分重要的变换，是从实际问题的解决中抽象得到的。 一、引例 求解线性方程组 979634226442224321432143214321xxxxxxxxxxxxxxxx (1) (1) )(1B )(2B )(3B 00304244324321xxxxxxxx )(4B 问题10 共采取了几种变换将(1)变为)(4B的？ （三种：(ⅰ) 交换方程的次序；(ⅱ) 用数)0(k乘某方程； (ⅲ) 将某方程的k倍加到另一方程上。且这三种变换都可以看成是只对方程组的系数和常数项进行的） 20 在这三种变换下，(1)与)(4B是否同解？即这三种变换是否都可逆？ （都可逆，即同解变换） 30 采取这三种变换的目的是为了将(1)变为什么形状以便得到解？ （阶梯形。其寓意：方程④表明方程组有一个多余的方程； 将③代入②得32xx ，表明3x (或2x )可任意取值，称之为自由未知量，其余的未知量称为非自由未知量，当某层的阶宽多于一个未知量时，就必有自由未知量，一般我们取每层阶梯的第一个未知量为非自由未知量，由于一旦确定下自由未知量，任给自由未知量一组数值，就可得到方程组的一个解，所以我们特别重视自由未知量） 40 由于(1)与其增广矩阵)(bAB 构成一一对应，那这三种变换在矩阵中对应的效果是什么？ 97963422644121121112B 97963211322111241211 34330635500222041211 31000620000111041211 500000310000111041211B. 对于矩阵的行只作了三种变换，也就是说，为解线性方程组对方程组作变换，就相当于对其增广矩阵的行作同类变换，下面给出这三种对矩阵的行作的变换在矩阵中...
