极值点偏移第2招--含参数的极值点偏移问题

(1)专®04=极值点偏移第二招——含参数的极值点偏移何題含参数的极值点偏移问题，在原有的两个变元 x,x 的基础上，又多了一个参数，故思路很12自然的就会想到：想尽一切办法消去参数，从而转化成不含参数的问题去解决；或者以参数为媒介，构造出一个变元的新的函数.★例 1.已知函数 f(x)=x-aex 有两个不同的零点 x,x，求证：x+x>2.1212【解析】思路 1：ffia/W 的两个零点，等价于方程血 7 二口的两个实根，从而这一问题与专题三〔不含参数的柢值点偏移问题)例题完全等价，专题三例题的四种方法全都可汉用;思路氏也可洪刊用参数山遺个媒仆去构造出新的函数一解答如下：因为巒数/(X)育两个零点西，花,由 0)+⑵ 得：咼+花=班沪+泸》,慕证明珂+帀>2 只要证明“(0>2,由①一〔勾得；珂一帀=盘筒—沪)，即灯=弓二|/+評/_叱+1即证：3-花)亍飞>20(可-花)飞不妨设 x>x，记 t=x—x，则 t>0,e>11212et+12(e?—1)因此只要证明：t->2ot—>0et—1et+1再次换元令 et=x>1,t=lnx,即证 lnx—2(x』>0,xe(1,+s)x+1构造新函数 F(x)=Inx—，F(1)=0x+114(x—1)2求导 F'(x)=-=>0，得 F(x)在(1,+s)上递增,x(x+1)2x(x+1)2所以 F(x)>0，因此原不等式 x+x>2 获证.12所Inx 一 Inx12=ax 一 x2即证 a>—x+x★例 2.已知函数 f(x)=Inx-ax,a 为常数，若函数 f(x)有两个零点 x,x，证明:12x・x>e2.12【解折】法一••消参转化成无參数问题;f(JC)=0<=>Injc 二 CECOIDH 二 ae^K、咼■花是方程/O)=0 的两根」也是方程 kx=^hE的两根,则 In 迺,In 盹是方程咒=窗的两根、设巧二 In 珀，沟二 In 花，或©=才，则 g(码)=贞勺从而对花 Oil!珂+11!盹>20 珂+勺:>2』此问题等价转化成为专题三例题，下略一法二：利用参数 a作为媒介，换元后构造新函数：不妨设珥>x2•.•Inx-ax=0,lnx 一 ax=0Inx+Inx=a(x+x),lnx 一 Inx=a(x 一 x),112212121212欲证明 xx>e2，即证 Inx+Inx>2.1212•Inx+lnx=a(x+x)1212一 lnx 一 lnx2,x2(x 一 x)xz八・•・原命题等价于证明 12>，即证：In」>12，令 t=—,(t>1)x 一 xx+xxx+xx12122122/、i2(t-1)]构造 g(t)=lnt-,t>1，此问题等价转化成为例 1 中思路 2 的解答，下略.t+1法三：直接换元构造新函数：lnxlnxlnxxx/八a=1--2-O2=2,设 x1)xxlnxx12x12111lntxlnt+lnx则 x=tx,1- =tO4=t21lnxlnx111lnt、、、iilnttlnt反解出：lnx=,lnx=lntx=lnt+lnx=lnt+=1t-1211t-1t-1t+1故 xx>e2...