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极值点偏移第2招--含参数的极值点偏移问题

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(1)专®04=极值点偏移第二招——含参数的极值点偏移何題含参数的极值点偏移问题,在原有的两个变元 x,x 的基础上,又多了一个参数,故思路很12自然的就会想到:想尽一切办法消去参数,从而转化成不含参数的问题去解决;或者以参数为媒介,构造出一个变元的新的函数.★例 1.已知函数 f(x)=x-aex 有两个不同的零点 x,x,求证:x+x>2.1212【解析】思路 1:ffia/W 的两个零点,等价于方程血 7 二口的两个实根,从而这一问题与专题三〔不含参数的柢值点偏移问题)例题完全等价,专题三例题的四种方法全都可汉用;思路氏也可洪刊用参数山遺个媒仆去构造出新的函数一解答如下:因为巒数/(X)育两个零点西,花,由 0)+⑵ 得:咼+花=班沪+泸》,慕证明珂+帀>2 只要证明“(0>2,由①一〔勾得;珂一帀=盘筒—沪),即灯=弓二|/+評/_叱+1即证:3-花)亍飞>20(可-花)飞不妨设 x>x,记 t=x—x,则 t>0,e>11212et+12(e?—1)因此只要证明:t->2ot—>0et—1et+1再次换元令 et=x>1,t=lnx,即证 lnx—2(x』>0,xe(1,+s)x+1构造新函数 F(x)=Inx—,F(1)=0x+114(x—1)2求导 F'(x)=-=>0,得 F(x)在(1,+s)上递增,x(x+1)2x(x+1)2所以 F(x)>0,因此原不等式 x+x>2 获证.12所Inx 一 Inx12=ax 一 x2即证 a>—x+x★例 2.已知函数 f(x)=Inx-ax,a 为常数,若函数 f(x)有两个零点 x,x,证明:12x・x>e2.12【解折】法一••消参转化成无參数问题;f(JC)=0<=>Injc 二 CECOIDH 二 ae^K、咼■花是方程/O)=0 的两根」也是方程 kx=^hE的两根,则 In 迺,In 盹是方程咒=窗的两根、设巧二 In 珀,沟二 In 花,或©=才,则 g(码)=贞勺从而对花 Oil!珂+11!盹>20 珂+勺:>2』此问题等价转化成为专题三例题,下略一法二:利用参数 a作为媒介,换元后构造新函数:不妨设珥>x2•.•Inx-ax=0,lnx 一 ax=0Inx+Inx=a(x+x),lnx 一 Inx=a(x 一 x),112212121212欲证明 xx>e2,即证 Inx+Inx>2.1212•Inx+lnx=a(x+x)1212一 lnx 一 lnx2,x2(x 一 x)xz八・•・原命题等价于证明 12>,即证:In」>12,令 t=—,(t>1)x 一 xx+xxx+xx12122122/、i2(t-1)]构造 g(t)=lnt-,t>1,此问题等价转化成为例 1 中思路 2 的解答,下略.t+1法三:直接换元构造新函数:lnxlnxlnxxx/八a=1--2-O2=2,设 x1)xxlnxx12x12111lntxlnt+lnx则 x=tx,1- =tO4=t21lnxlnx111lnt、、、iilnttlnt反解出:lnx=,lnx=lntx=lnt+lnx=lnt+=1t-1211t-1t-1t+1故 xx>e2...

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