离散数学(二元关系)课后总结

1 第四章 二元关系 例1 设A={0,1}，B={a,b}，求AB ， BA，AA

解： AB={,,,} BA={,,,} AA={,,,} 可见 A×B≠B×A 例2、关于笛卡尔乘积的几个证明 1）如果 A、B 都是有限集，且|A|=m, |B|=n，则 |AB |=mn

证明：由笛卡尔积的定义及排列组合中的乘法原理，直接推得此定理

2) AΦ =Φ B=Φ 3) 对∪和∩满足分配律

设A,B,C 是任意集合，则 ⑴ A(B∪C)= (AB)∪(AC)； ⑵ A(B∩C)= (AB)∩(AC)； ⑶ (A∪B)C= (AC)∪(BC)； ⑷ (A∩B)C= (AC)∩(BC) 证明 ⑴ ：任取A(B∪C) xA yB∪C xA (yB∨yC) ( xA yB)∨(xAyC) AB∨AC (AB)∪(AC) 所以⑴式成立

4)若 C，,则 AB(ACBC) (CACB)

证明: 必要性：设AB，求证 ACBC 任取AC xAyC xByC (因 AB) BC 所以, ACBC

充分性： 若 C, 由 ACBC 求证 AB 取 C 中元素 y, 任取 xA xAyCAC  BC (由 ACBC ) xByC xB 所以, AB

所以 AB(ACBC) 类似可以证明 AB (CACB)

5) 设A、B、C、D 为非空集合，则 ABCDAC∧BD

证明: 首先,由 ABCD 证明 AC∧BD

任取 xA，任取 yB，所以 xAyB A×B  C×D (由 ABCD ) x