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离散数学第9章习题答案

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1 习题9 1. 设G 是一个(n,m)简单图。证明:,等号成立当且仅当G 是完全图。 证明:(1)先证结论: 因为G 是简单图,所以G 的结点度上限 max(d(v)) ≤ n-1, G 图的总点度上限为 max(Σ(d(v)) ≤ n﹒max(d(v)) ≤ n(n-1) 。根据握手定理,G 图边的上限为 max(m) ≤ n(n-1)/2,所以。 (2) =〉G 是完全图 因为G 具有上限边数,假设有结点的点度小于 n-1,那么 G 的总度数就小于上限值,边数就小于上限值,与条件矛盾。所以,G 的每个结点的点度都为n-1,G 为完全图。 G 是完全图 =〉 因为G 是完全图,所以每个结点的点度为n-1, 总度数为n(n-1),根据握手定理,图G的边数 。■ 2. 设G 是一个(n,n+1)的无向图,证明G 中存在顶点u,d(u)≥3。 证明:反证法,假设,则 G 的总点度上限为max(Σ(d(u)) ≤ 2 n,根据握手定理,图边的上限为max(m) ≤ 2n/2=n。与题设m = n+1,矛盾。因此,G 中存在顶点u,d(u)≥3。■ 3.确定下面的序列中哪些是图的序列,若是图的序列,画出一个对应的图来: (1)(3,2,0,1,5); (2)(6,3,3,2,2) (3)(4,4,2,2,4); (4)(7,6,8,3,9,5) 解:除序列(1)不是图序列外,其余的都是图序列。因为在(1)中,总和为奇数,不满足图总度数为偶数的握手定理。 可以按如下方法构造满足要求的图:序列中每个数字 ai 对应一个点,如果序列数字是偶数,那么就在对应的点上画 ai/2 个环,如果序列是奇数,那么在对应的点上画(ai-1)/2 个环。最后,将奇数序列对应的点两两一组,添加连线即可。下面以(2)为例说明: (6 , 3, 3, 2, 2 ) 对应图G 的点集合 V= { v1,v2,v3,v4,v5} 每个结点对应的环数(6/2, (3-1)/2, (3-1)/2, 2/2,2/2) = (3,1,1,1,1) v 1 v 5 v 3v 4 v 2 2 将奇数3,3 对应的结点v2,v3 一组,画一条连线 其他序列可以类式作图,当然大家也可以画图其它不同的图形。■ 4.证明:在(n,m)图中。 证明:图的点度数是一组非负整数{d(v1),d(v2)…d(vn)},那么这组数的算术平均值一定大于等于其中的最小值,同时小于等于其中的最大值。对应到图的术语及为:最大值为,最小值为 δ,平均值 = (d(v1)+d(v2)…+d(vn))/n = 2m/n,所以。■ 5.证明定理 10.2。 【定理 10.2】 对于任何(n,m)有向图G =(V,E), 证明:有向图中,每条有向边为图贡献一度出度,同时贡献一度出度,...

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