第一讲：空间几何中的向量方法---------坐标运算与法向量 一、空间向量的坐标运算 1． 若123( ,,)aa a a，123( ,,)bb b b，则 （1）112233(,,)abab ab ab； （2）112233(,,)abab ab ab； （3）123(,,),aaaaR； （4）1 1223 3a ba ba ba b； （5）112233//,,,(0,)abab ab abbR； （6）1 1223 30aba ba ba b； （7）222123aa aaaa； （8）1 12 23 3222222123123cos,a ba ba ba ba ba baaabbb. 例 1 已知(2, 3,5),( 3,1, 4),ab 求,,8 ,,ab aba a b的坐标. 2.若111222(,,),(,,),A x y zB xyz则212121(,,)ABxx yy zz 练习 1: 已知 PA 垂直于正方形 ABCD 所在的平面，M、N 分别是 AB,PC 的中点，且 PA=AD=1，求向量MN 的坐标. 二、空间直角坐标系中平面法向量的求法 1、 方程法 利用直线与平面垂直的判定定理构造三元一次方程组，由于有三个未知数，两个方程，要设定一个变量的值才能求解，这是一种基本的方法，容易接受，但运算稍繁，要使法向量简洁，设值可灵活，法向量有无数个，他们是共线向量，取一个就可以。 例1 已知(2, 2,1),(4,5,3),ABAC求平面 ABC 的法向量。 解：设( , , )nx y z，则由,,nAB nAC得=0=0n ABn AC 即220453 =0xyzxyz 不妨设1z ，得12=-1xy ， 取1( , 1,1)2n 2 .矢量积公式 111111111222222222( ,,),(,,),,,,yzxzxyax y zbxyza byzxzxy其中行列式111 22 1,22yzy zy zyz 法向量取与向量a b共线的即可。 用这一方法解答例1，先把平面内的两个向量坐标对齐写(2,2,1)(4,5,3)ab 蒙住第一列，把后两列看成一个二阶行列式，计算2 3 1 51 就是向量a b的x 坐标，蒙住第二列，把前后两列看成一个二阶行列式，计算[2 34 1]2 ，作为a b的y 坐标，蒙住第三列，把前两列看成一个二阶行列式，计算2 54 22 作为z 坐标，所以 (1, 2,2)ab，可以取(1, 2,2)n ，它与前面方程法求得的1( , 1,1)2n 是共线向量。 优点：操作步骤清晰，容易记住，开始觉得不习惯，多练几次后，速度快...
