空间向量与立体几何知识点和习题

1 空间向量与立体几何 【知识要点】 1．空间向量及其运算： (1)空间向量的线性运算： ①空间向量的加法、减法和数乘向量运算：平面向量加、减法的三角形法则和平行四边形法则拓广到空间依然成立． ②空间向量的线性运算的运算律： 加法交换律：a＋b＝b＋a； 加法结合律：(a＋b＋c)＝a＋(b＋c)； 分配律：(＋)a＝a＋a；(a＋b)＝a＋b． (2)空间向量的基本定理： ①共线(平行)向量定理：对空间两个向量a，b(b≠0)，a∥b 的充要条件是存在实数，使得a∥b． ②共面向量定理：如果两个向量a，b 不共线，则向量c 与向量a，b 共面的充要条件是存在惟一一对实数，，使得c＝a＋b． ③空间向量分解定理：如果三个向量a，b，c 不共面，那么对空间任一向量p ，存在惟一的有序实数组1，2，3，使得p ＝1a＋2b＋3c． (3)空间向量的数量积运算： ①空间向量的数量积的定义：a·b＝|a｜|b｜cos〈a，b〉； ②空间向量的数量积的性质： a·e＝|a｜cos＜a，e＞；a⊥b a·b＝0； |a|2＝a·a；|a·b|≤|a｜|b｜． ③空间向量的数量积的运算律： (a)·b＝(a·b)； 交换律：a·b＝b·a； 分配律：(a＋b)·c＝a·c＋b·c． (4)空间向量运算的坐标表示： ①空间向量的正交分解：建立空间直角坐标系 Oxyz，分别沿 x 轴，y 轴，z 轴的正方向引单位向量i，j，k ，则这三个互相垂直的单位向量构成空间向量的一个基底{i，j，k ｝，由空间向量分解定理，对于空间任一向量a，存在惟一数组(a1，a2，a3)，使a＝a1i＋a2j＋a3k ，那么有序数组(a1，a2，a3)就叫做空间向量a 的坐标，即 a＝(a1，a2，a3)． ②空间向量线性运算及数量积的坐标表示： 设 a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则 a＋b＝(a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3)；a－b＝(a1－b1，a2－b2，a3－b3)； a＝(a1，a2，a3)；a·b＝a1b1＋a2b2＋a3b3． ③空间向量平行和垂直的条件： a∥b(b≠0) a＝b a1＝b1，a2＝b2，a3＝b3(∈R)； a⊥b a·b＝0 a1b1＋a2b2＋a3b3＝0． ④向量的夹角与向量长度的坐标计算公式： 设 a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则 ;||,||232221232221bbbaaabbbaaa 2 ;||||,cos232221232221332211bbbaaababababababa 在空间直角坐标系中，点A(a1，a2，a3)，B(b1，...