空间曲线的切线与空间曲面的切平面

第六节 空间曲线的切线与空间曲面的切平面 一、空间曲线的切线与法平面 设空间的曲线C由参数方程的形式给出：)()()(tzztyytxx，),(t． 设),(,10tt，)(),(),((000tztytxA、))(),(),((111tztytxB为曲线上两点，BA，的连线AB 称为曲线C的割线，当AB 时，若 AB 趋于一条直线，则此直线称为曲线C在点 A 的切线． 如果)()()(tzztyytxx，，对于t 的导数都连续且不全为零（即空间的曲线C为光滑曲线），则曲线在点 A 切线是存在的．因为割线的方程为 )()()()()()()()()(010010010tztztzztytytyytxtxtxx 也可以写为 001000100010)()()()()()()()()(tttztztzztttytytyytttxtxtxx 当AB 时，0tt ，割线的方向向量的极限为)(),(),(000tztytx，此即为切线的方向向量，所以切线方程为 )()()()()()(000000tztzztytyytxtxx． 过 点)(),(),((000tztytxA且 与切线垂 直 的平面称 为 空间的曲线C 在 点)(),(),((000tztytxA的法平面，法平面方程为 0))(())(())((00'00'00'zztzyytyxxtx 如果空间的曲线C由方程为 )(),(xzzxyy 且)(),(0'0'xzxy存在，则曲线在点)(),(,(000xzxyxA的切线是 )()()()(100000xzxzzxyxyyxx 法平面方程为 0))()(())()(()(00'00'0xzzxzxyyxyxx 如果空间的曲线C表示为空间两曲面的交，由方程组 0),,(0),,(:zyxGzyxFc， 确定时，假设在),,(000zyxA有0),(),(AzyGFJ，在),,(000zyxA某邻域内满足隐函数组存在定理条件，则由方程组0),,(0),,(zyxGzyxF，在点),,(000zyxA附近能确定隐函数 )(),(xzzxyy 有)(),(0000xzzxyy，),(),(1,),(),(1xyGFJdxdzzxGFJdxdy。于是空间的曲线C在 点),,(000zyxA的切线是 AAdxdzzzdxdyyyxx0001 即 AAAyxGFzzxzGFyyzyGFxx),(),(),(),(),(),(000 法平面方程为 0)(),(),()(),(),()(),(),(000zzyxGFyyxzGFxxzyGFAAA 类似地，如果在点),,(000zyxA有0),(),(AyxGF或0),(),(AxzGF时，我们得到的切线方程和法平面方程有相同形式。 所以，当向量 0}),(),(,),(),(,),(),({AAAyxGFxzGFzyGFr 时，空间的曲线C在),,(000zyxA的切线的方向向量为r 例 6.32 求曲线bzayax...