空间解析几何课后习题解析

第一章 矢量与坐标 §1 .1 矢量的概念 1.下列情形中的矢量终点各构成什么图形？ （1）把空间中一切单位矢量归结到共同的始点； （2）把平行于某一平面的一切单位矢量归结到共同的始点； （3）把平行于某一直线的一切矢量归结到共同的始点； （4）把平行于某一直线的一切单位矢量归结到共同的始点. [解]：（1）单位球面； （2）单位圆 （3）直线； （4）相距为 2 的两点 2. 设点 O 是正六边形 ABCDEF 的中心， 在矢量OA 、OB 、 OC 、OD 、OE 、 OF 、 AB 、 BC 、CD 、 DE 、 EF 和 FA 中，哪些矢量是相等的？ [解]：如图 1-1，在正六边形 ABCDEF 中， 相等的矢量对是： 图 1-1 .DEOFCDOEABOCFAOBEFOA和；和；和；和；和 3 . 设在平面上给了一个四边形 ABCD，点 K、L、M、N 分别是边ＡＢ、ＢＣ、ＣＤ、 ＤＡ的中点，求证： KL ＝ NM . 当 ABCD 是空间四边形时，这等式是否也成立？ [证明]：如图 1-2，连结 AC, 则在BAC 中， KL21 AC. KL 与AC 方向相同；在DAC中，NM21 AC. NM 与AC 方向相同，从而KL＝NM 且 KL 与NM 方向相同，所以 KL ＝NM . 4. 如图 1-3，设 ABCD-EFGH 是一个平行六面体，在下列各对矢量中，找出相等的矢量和互为相反矢量的矢量： (1) AB 、CD ; (2) AE 、CG ; (3) AC 、EG ; (4) AD 、GF ; (5) BE 、CH . [解]：相等的矢量对是（2）、（3）和（5）； 互为反矢量的矢量对是（1）和（4）。 §1 .2 矢量的加法 1.要使下列各式成立，矢量ba,应满足什么条件？ （1）;baba （2）;baba （3）;baba （4）;baba 图1—3 A F B E C O （5）.baba [解]：（1）ba,所在的直线垂直时有baba； （2）ba,同向时有;baba （3）,ba 且ba,反向时有;baba （4）ba,反向时有;baba （5）ba,同向，且ba 时有.baba §1 .3 数量乘矢量 1 试解下列各题． ⑴ 化简)()()()(bayxbayx． ⑵ 已知3212eeea，321223eeeb，求 ba， ba和ba23． ⑶ 从矢量方程组byxayx3243，解出矢量x ，y ． 解 ⑴ aybxbyaybxaxbyaybxaxbayxbayx22)()()()(⑵ ...