第一章 平移、对称与旋转 第4 讲 利用轴对称破解最短路径问题 一、学习目标 1 . 理解“直线上同一侧两点与此直线上一动点距离和最小”问题通过轴对称的性质与作图转化为“两点之间,线段最短”问题求解。 2 .能将实际问题或几何问题(对称背景图)中有关最短路径(线段之差最大值)问题借助轴对称转化为两点之间,线段最短问题分析与求解。 二、基础知识·轻松学 与轴对称有关的最短路径问题 关于最短距离,我们有下面几个相应的结论: (1)在连接两点的所有线中,线段最短(两点之间,线段最短); (2)三角形的两边之和大于第三边,两边之差小于第三边; (3)在三角形中,大角对大边,小角对小边。 (4)垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等; 【精讲】一般说来,线段和最短的问题,往往把几条线段连接成一条线段,利用“两点之间线段最短”或者“三角形两边之和大于第三边”加以证明,关键是找相关点关于直线的对称点实现“折”转“直”。另外,在平移线段的时候,一般要用到平行四边形的判定和性质。(判定:如果一个四边形的一组对边平行且相等,那么这个四边形是平行四边形;性质:平行四边形的对边相等。) 三、重难疑点·轻松破 最短路径问题 在平面图形中要解决最短路径问题,自然离不开构建与转化“两点之间,线段最短”的数学公理,通常将涉及到的两点中的任一点作出关于直线的对称点,从而运用两点之间,线段最短解决实际问题.在日常生活、工作中,经常会遇到有关行程路线的问题。 “最短路径问题”的原型来自于“饮马问题”、“造桥选址问题”,出题通常以直线、角、等腰(边)三角形、长方形、正方形、坐标轴等对称图形为背景。 (1)“一线同侧两点”问题 例1 如图,点A、B 在直线m 的同侧,点B′是 点B 关于 m 的对称点,AB′交 m 于点P. (1)AB′与AP+PB 相等吗 ? 为什 么 ? (2)在 m 上再 取 一点N,并 连接 AN 与NB,比 较 AN+NB 与AP+PB 的大小,并 说 明 理由 . 解析:(1) 点B′是点B 关于m 的对称点, ∴PB=PB′, AB′=AP+PB′, ∴AB′=AP+PB. (2)如图:连接AN,BN,B′N, AB′=AP+PB, ∴AN+NB=AN+NB′>AB′, ∴AN+NB>AP+PB. 点评:两条线段之和最短,往往利用对称的思想,把两条线段的和变为一条线段来研究,利用两点之间的线段最短得出结果。这类题主考实际问题转化为数学问题的能力,关键是利用轴对称、“两点之间,线...