第一章 平移、对称与旋转 第4 讲 利用轴对称破解最短路径问题 一、学习目标 1 . 理解“直线上同一侧两点与此直线上一动点距离和最小”问题通过轴对称的性质与作图转化为“两点之间，线段最短”问题求解。 2 .能将实际问题或几何问题（对称背景图）中有关最短路径（线段之差最大值）问题借助轴对称转化为两点之间，线段最短问题分析与求解。 二、基础知识·轻松学 与轴对称有关的最短路径问题 关于最短距离，我们有下面几个相应的结论： （1）在连接两点的所有线中，线段最短（两点之间，线段最短）； （2）三角形的两边之和大于第三边，两边之差小于第三边； （3）在三角形中，大角对大边，小角对小边。 （4）垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等； 【精讲】一般说来，线段和最短的问题，往往把几条线段连接成一条线段，利用“两点之间线段最短”或者“三角形两边之和大于第三边”加以证明，关键是找相关点关于直线的对称点实现“折”转“直”。另外，在平移线段的时候，一般要用到平行四边形的判定和性质。（判定：如果一个四边形的一组对边平行且相等，那么这个四边形是平行四边形；性质：平行四边形的对边相等。） 三、重难疑点·轻松破 最短路径问题 在平面图形中要解决最短路径问题，自然离不开构建与转化“两点之间，线段最短”的数学公理，通常将涉及到的两点中的任一点作出关于直线的对称点，从而运用两点之间，线段最短解决实际问题．在日常生活、工作中，经常会遇到有关行程路线的问题。 “最短路径问题”的原型来自于“饮马问题”、“造桥选址问题”，出题通常以直线、角、等腰（边）三角形、长方形、正方形、坐标轴等对称图形为背景。 （1）“一线同侧两点”问题 例1 如图，点A、B 在直线m 的同侧，点B′是 点B 关于 m 的对称点，AB′交 m 于点P． （1）AB′与AP+PB 相等吗 ？ 为什 么 ？ （2）在 m 上再 取 一点N，并 连接 AN 与NB，比 较 AN+NB 与AP+PB 的大小，并 说 明 理由 ． 解析：（1） 点B′是点B 关于m 的对称点， ∴PB=PB′， AB′=AP+PB′， ∴AB′=AP+PB． （2）如图：连接AN，BN，B′N， AB′=AP+PB， ∴AN+NB=AN+NB′＞AB′， ∴AN+NB＞AP+PB． 点评：两条线段之和最短，往往利用对称的思想，把两条线段的和变为一条线段来研究，利用两点之间的线段最短得出结果。这类题主考实际问题转化为数学问题的能力，关键是利用轴对称、“两点之间，线...
