第5章插值与拟合

1 第5 章 插值与拟合 大多数数学建模问题都是从实际工程或生活中提炼出来的，往往带有大量的离散的实验观测数据，要对这类问题进行建模求解，就必须对这些数据进行处理。其目的是为了从大量的数据中寻找它们反映出来的规律。用数学语言来讲，就是要找出与这些数据相应的变量之间的近似关系。对于非确定性关系，一般用统计分析的方法来研究，如回归分析的方法。对于确定性的关系，即变量间的函数关系，一般可用数据插值与拟合的方法来研究。本章学习数据插值与拟和的基本方法和相关的MATLAB命令。 5 .1 引例 简单地讲，插值是对于给定的n 组离散数据，寻找一个函数，使该函数的图象能严格通过这些数据对应的点。拟合并不要求函数图象通过这些点，但要求在某种准则下，该函数在这些点处的函数值与给定的这些值能最接近。 例1 ：对于下面给定的4 组数据，求在1 1 0x处 y 的值。 x 1 0 0 1 2 1 1 4 4 1 6 9 y 1 0 1 1 1 2 1 3 这就是一个插值问题。我们可以先确定插值函数，再利用所得的函数来求1 1 0x处 y 的近似值。需要说明的是这4 组数据事实上已经反映出 x 与y 的函数关系为：xy ，当数据量较大时，这种函数关系是不明显的。也就是说，插值方法在处理数据时，不论数据本身对应的被插值函数)(xfy 是否已知，它都要找到一个通过这些点的插值函数，此函数是被插值函数的一个近似，从而通过插值函数来计算被插值函数在未知点处的近似值。对于所构造的插值函数要求相对简单，便于计算，一般选用多项式函数来逼近。 例2 ：观测物体的直线运动，得以下数据，求物体的运动方程。 t （秒） 0 0 .9 1 .9 3 .0 3 .9 5 .0 s （米） 0 1 0 3 0 5 0 8 0 1 1 0 这是一个拟合问题，其明显的特征是与数据对应的函数未知，要找到一个函数 2 来比较准确地表述这些数据蕴藏的规律。显然，我们找出的函数不一定会通过这些点，也没有必要，因为观测数据本身并不是完全准确的。 5 .2 理论基础：数据插值与拟合 5 .2 .1 插值问题的原理与方法 以一维多项式插值方法为例。一般地，对于给定的n+1 组数据),,2,1,0(),(niyxii，),,2,1,0(nixi互不相等，确定一个n 次多项式)(xPn，使),,2,1,0()(niyxPiin。其中)(xPn称为插值函数， ),(iiyx为插值节点，)max,min(],[00iniinixbxaba为插值区间，),,2,1,0()(niyxPiin为插值条件。 当1n时...