常用导数公式VIP专享

常用导数公式1.y=c(c 为常数) y=02.y=x^n y=nx^(n-1)3.y=a^x y=a^xlnay=e^x y=e^x4.y=logax y=logae/xy=lnx y=1/x5.y=sinx y=cosx6.y=cosx y=-sinx7.y=tanx y=1/cos^2x8.y=cotx y=-1/sin^2x9.y=arcsinx y=1/1-x^210.y=arccosx y=-1/1-x^211.y=arctanx y=1/1+x^212.y=arccotx y=-1/1+x^2在推导的过程中有这几个常见的公式需要用到：1.y=f[g(x)],y=f[g(x)]g(x)『f[g(x)]中 g(x〕看作整个变量，而 g(x)中把 x 看作变量』2.y=u/v,y=uv-uv/v^23.y=f(x)的反函数是 x=g(y〕，则有 y=1/x证：1.显而易见，y=c 是一条平行于 x 轴的直线，所以到处的切线都是平行于 x的，故斜率为 0。用导数的定义做也是一样的：y=c,⊿y=c-c=0,lim⊿x0⊿y/⊿x=0。2.这个的推导暂且不证，因为假如依据导数的定义来推导的话就不能推广到 n为任意实数的一般状况。在得到 y=e^x y=e^x 和 y=lnx y=1/x 这两个结果后能用复合函数的求导给予证明。3.y=a^x,⊿y=a^(x+⊿x)-a^x=a^x(a^⊿x-1)⊿y/⊿x=a^x(a^⊿x-1)/⊿x假如直接令⊿x0，是不能导出导函数的，必需设一个帮助的函数＝a^⊿x-1 通过换元进行计算。由设的帮助函数可以知道：⊿x=loga(1+)。所以(a^⊿x-1)/⊿x＝/loga(1+)=1/loga(1+)^1/明显，当⊿x0 时，也是趋向于 0 的。而 lim0(1+)^1/=e,所以 lim01/loga(1+)^1/=1/logae=lna。把这个结果代入 lim⊿x0⊿y/⊿x=lim⊿x0a^x(a^⊿x-1)/⊿x 后得到lim⊿x0⊿y/⊿x=a^xlna。可以知道，当 a=e 时有 y=e^x y=e^x。4.y=logax⊿y=loga(x+⊿x)-logax=loga(x+⊿x)/x=loga[(1+⊿x/x)^x]/x⊿y/⊿x=loga[(1+⊿x/x)^(x/⊿x)]/x因为当⊿x0 时，⊿x/x 趋向于 0 而 x/⊿x 趋向于，所以 lim⊿x0loga(1+⊿x/x)^(x/⊿x)＝logae,所以有lim⊿x0⊿y/⊿x＝logae/x。可以知道，当 a=e 时有 y=lnx y=1/x。这时可以进行 y=x^n y=nx^(n-1)的推导了。因为 y=x^n,所以y=e^ln(x^n)=e^nlnx,所以 y=e^nlnx(nlnx)=x^nn/x=nx^(n-1)。5.y=sinx⊿y=sin(x+⊿x)-sinx=2cos(x+⊿x/2)sin(⊿x/2)⊿y/⊿x=2cos(x+⊿x/2)sin(⊿x/2)/⊿x=cos(x+⊿x/2)sin(⊿x/2)/(⊿x/2)所以 lim⊿x0⊿y/⊿x=lim⊿x0cos(x+⊿x/2)lim⊿x0sin(⊿x/2)/(⊿x/2)=cosx6.类似地，可以导出 y=cosx y=-sinx。7.y=tanx=sinx/cosxy=[(sinx)cosx-sinx(cos)]/cos^2x=(cos^2x+sin^2x)/cos^2x=1/cos^2x8.y=cotx=cosx/sinxy=[(cosx)sinx-cosx(sinx)]/sin^2x=-1/sin^2x9.y=arcsinxx=sinyx=cosyy=1/x=1/cosy=1/1-sin^2y=1/1-x^210.y=arccosxx=cosyx=-sinyy=1/x=-1/siny=-1/1-cos^2y=-1/1-x^211.y=arctanxx=tanyx=1/cos^2yy=1/x=cos^2y=1/sec^2y=1/1+tan^2x=1/1+x^212.y=arccotxx=cotyx=-1/sin^2yy=1/x=-sin^2y=-1/csc^2y=-1/1+cot^2y=-1/1+x^2另外在对双曲函数 shx,chx,thx 等以及反双曲函数 arshx,archx,arthx 等和其他较冗杂的复合函数求导时通过查阅导数表和运用开头的公式与4.y=u 土 v,y=u 土 v5.y=uv,y=uv+uv均能较快捷地求得结果。