常见递归数列通项公式的求解策略 数列是中学数学中重要的知识之一，而递归数列又是近年来高考和全国联赛的重要题型之一。数列的递归式分线性递归式和非线性递归式两种，本文仅就高中生的接受程度和能力谈谈几种递归数列通项公式的求解方法和策略。 一、周期数列 假如数列满足：存在正整数 M、T，使得对一切大于 M 的自然数 n，都有成立，那么数列为周期数列。 例 1、数列满足 a1 =2，an+1 =1－ ，求 an 。 解:an+1 =1－ an+2 =1－ =－ , 从而 an+3 = 1－=1＋an－1=an , 即数列是以 3 为周期的周期数列。又 a1 =2，a2=1－=, a3 =－1 2 , n=3k＋1 所以 an= ,n=3k＋2 ( kN ) －1 , n=3k＋3 二、线性递归数列 1、一阶线性递归数列：由两个连续项的关系式 an= f (an-1 )〔n,n〕及一个初始项 a1 所确定的数列，且递推式中，各 an 都是一次的，叫一阶线性递归数列，即数列满足 an＋1 =f (n) an＋g(n)，其中 f (n)和 g(n)可以是常数，也可以是关于 n 的函数。 〔一〕当 f (n) =p 时，g(n) =q〔p、q 为常数〕时，数列是常系数一阶线性递归数列。 〔1〕当 p =1 时 ，是以 q 为公差的等差数列。 〔2〕当 q=0，p0 时，是以 p 为公比的等比数列。 〔3〕当 p1 且 q0 时，an＋1 =p an＋q 可化为 an＋1－=p(an－),此时｛an－｝是以 p 为公比，a1－ 为首项的等比数列，从而可求 an。 例 2、：=且，求数列的通项公式。 解：= －= 即数列是以为公比， 为首项的等比数列。 〔二〕当 f(n)，g(n)至少有一个是关于 n 的非常数函数时，数列｛an｝是非常系数的一阶线性递归数列。 〔1〕当 f(n) =1 时，化成 an＋1=an＋g(n),可用求和相消法求 an。 例 3、〔2024 年全国文科高考题〕数列｛an｝满足 a1=1,an=3n--1＋an－1 (n2) , (1)求 a2 ,a3 ; (2) 证明：an= . (1)解： a1 =1, a2=3＋1=4 , a3=32＋4=13 . (2)证明： an=3n--1＋an－1 (n2) , an－an－1=3n—1 , an－1－an－2=3n—2 , an－2－an－3=3n—3 ……, a4－a3=33 , a3－a2=32 , a2－a1=31 将以上等式两边分别相加，并整理得: an－a1=3n—1＋3n—2＋3n—3＋…＋33＋32＋31 , 即 an=3n—1＋3n—2＋3n—3＋…＋33＋32＋31＋1= . 〔2〕当 g(n)=0 时,化为 a n＋1=f(n) an ，可用求积相消法求 an 。 例 4、数列｛an｝满足 a1 =－2 , a n=3n an...
