数列求和一、直接求和法（或公式法）掌握一些常见的数列的前 n 项和：，1+3+5+……+(2n-1)=，等. 例 1 求．解：原式．由等差数列求和公式，得原式．变式练习：已知，求 的前 n 项和.解：1－二、倒序相加法此方法源于等差数列前 n 项和公式的推导，目的在于利用与首末两项等距离的两项相加有公因式可提取，以便化简后求和.例 2 求的和．解：设则．两式相加，得 ．三、裂项相消法常见的拆项公式有： ，，，等.例 3 已知，求的和．解：， 小结：假如数列的通项公式很容易表示成另一个数列的相邻两项的差，即，则有.这种方法就称为裂项相消求和法.变式练习：求数列，，，…，，…的前 n 项和 S.解： =）Sn===四、错位相减法源于等比数列前 n 项和公式的推导，对于形如的数列，其中为等差数列，为等比数列，均可用此法.例 4 求的和．解：当时，； 当时，．小结：错位相减法的步骤是：①在等式两边同时乘以等比数列的公比；②将两个等式相减；③利用等比数列的前 n 项和公式求和.变式练习：求数列 a,2a2,3a3,4a4,…,nan, …(a 为常数)的前 n 项和。解：（1）若 a=0, 则 Sn=0 （2）若 a=1,则 Sn=1+2+3+…+n=（3）若 a≠0 且 a≠1则 Sn=a+2a2+3a3+4a4+…+ nan ， ∴aSn= a2+2 a3+3 a4+…+nan+1∴(1-a) Sn=a+ a2+ a3+…+an- nan+1= ∴Sn= 当 a=0 时，此式也成立。∴Sn =五、分组求和法若数列的通项是若干项的代数和，可将其分成几部分来求.例 5 求数列，的前项和．．变式练习：求数列的前 n 项和解：数列求和基础训练1.等比数列的前ｎ项和 S ｎ＝2 ｎ－１，则＝2.设，则＝ .3..4. = 5. 数列的通项公式，前 n 项和 6 . 的前 n 项和为 数列求和提高训练1．数列{an}满足：a1＝1，且对任意的 m，n∈N*都有：am＋n＝am＋an＋mn，则 ( A )A．B．C．D．解： am＋n＝am＋an＋mn，∴an＋1＝an＋a1＋n＝an＋1＋n，∴利用叠加法得到：，∴，∴． 2．数列{an}、{bn}都是公差为 1 的等差数列，若其首项满足 a1＋b1＝5，a1＞b1，且a1，b1∈N*，则数列{}前 10 项的和等于 ( B )A．100B．85C．70D．55解： an＝a1＋n－1，bn＝b1＋n－1 ∴＝a1＋bn－1＝a1＋(b1＋n―1)―1＝a1＋b1＋n－2＝5＋n－2＝n＋3 则数列{}也是等差数列，并且前 10 项和等于： 答案：B.3．设 m=1×2+2×3+3×4+…+(n-1)·n，则 m 等于 ( A )A. (n+4) (n+5) (n+7)3．解：因为 a n = n2 ...
