2025年全国高中数学联合竞赛试题及参考答案

精品文档下载 【本页是封面，下载后可以删除!】最新资料，word 文档，可以自由编辑！！全国高中数学联合竞赛试题及参照答案一、(满分 50 分)如图，在四边形 ABCD 中，对角线 AC 平分∠ BAD 。在 CD 上取一点 E ， BE 与 AC 相交于 F ，延长 DF 交 BC 于 G 。求证：∠ GAC =∠ EAC . 解 析 ： 连 结 BD 交 AC 于 H ． 对 △ BCD 用 塞 瓦 定 理 ， 可得 由 于 AH 是 ∠ BAD 的 平 分 线 ， 由 角 平 分 线 定 理 ，可得 ． 故 ． 过 点 C 作 AB 的 平 行 线 AG 的 延 长 线 于 I ， 过 点 C 作 AD 的 平 行 线 交AE 的延长线于 J．则 . 因此， 从而，CI=CJ. 又由于 CI∥AB，CJ∥AD，故 ∠ACI=π-∠ABC=π-∠DAC=∠ACJ． 因此，△ACI≌△ACJ． 从而，∠IAC=∠JAC，即 ∠GAC=∠EAC．二、(满分 50 分)给定实数 a , b , c ，已知复数 z 1 , z 2 , z 3 满足： ，求| az 1 + bz 2 + cz 3 |的值。解析：记 e i θ=cosθ+isinθ．可设 ，，则 ． 由题设，有 e i θ+e i φ+e - i ( θ + φ )=1.φ 两边取虚部，有 0=sinθ+sinφ-sin(θ+φ) 故 θ=2kπ 或 φ=2kπ 或 θ+φ=2kπ，k∈Z． 因而，z 1=z 2 或 z 2=z 3 或 z 3=z 1． 假如 z 1=z 2，代入原式即 ．故 ． 这时，|az 1+bz 2+cz 3|=|z 1||a+b±ci| =． 类似地，假如 z 2=z 3,则|az 1+bz 2+cz 3|=;假如 z 3=z 1,则|az 1+bz 2+cz 3|=． 因此，|az 1+bz 2+cz 3|的值为 或 或 ． 三、(满分 50 分)给定正整数 n ，已知用克数都是正整数的 k 块砝码和一台天平可以称出质量为 1,2,3,…, n 克的所有物品。 （1）求 k 的最小值 f ( n )； （2）当且仅当 n 取什么值时，上述 f ( n )块砝码的构成方式是唯一确定的？并证明你的结论。 解析：(1)设这 k 块砝码的质量数分别为 a 1,a 2,…,a k，且1≤a 1≤a 2≤…≤a k，a i∈Z，1≤i≤k．由于天平两端都可以放砝码，故可称质量为 x ia i,x i∈｛-1，0，1｝．若运用这 k 块砝码可以称出质量为 1，2，3，…,n 的物品，则上述表达式中具有 1，2，…，n，由对称性易知也具有 0，-1，-2，…，-n，即 ｛x ia i|x i∈｛-1，0，1｝｝｛0,±1，…，±n｝． 因此，2n+1=|｛0，±1，…，±n｝| ≤|｛...