常微分方程期终考试试卷（1)一、填空题(30％）1、方程有只含的积分因子的充要条件是（ )。有只含的积分因子的充要条件是______________.２、_____________称为黎卡提方程,它有积分因子______________。３、__________________称为伯努利方程，它有积分因子_________。４、若为阶齐线性方程的个解，则它们线性无关的充要条件是__________________________。５、形如___________________的方程称为欧拉方程.６、若和都是的基解矩阵,则和具有的关系是_____________________________。７、当方程的特征根为两个共轭虚根是，则当其实部为_________时，零解是稳定的，对应的奇点称为___________。二、计算题（６０％）1、２、３、若试求方程组的解并求 expAt４、５、求方程经过（0，0）的第三次近似解6。求的奇点，并推断奇点的类型及稳定性。三、证明题(１０％）１、阶齐线性方程一定存在个线性无关解。试卷答案一填空题１、２、 ３、４、５、６、７、零 稳定中心二计算题１、解：因为，所以此方程不是恰当方程，方程有积分因子，两边同乘得所以解为即另外 y=0 也是解２、线性方程的特征方程故特征根是特征单根，原方程有特解代入原方程 A=-B=0 不是特征根，原方程有特解代入原方程 B=0 所以原方程的解为３、解：解得此时 k=1由公式 expAt= 得４、解：方程可化为令则有（＊）（*)两边对 y 求导：即由得即将 y 代入（*）即方程的含参数形式的通解为:p 为参数又由得代入（*）得：也是方程的解５、解：６、解：由解得奇点（3,—2）令 X=x-3，Y=y+2 则因为=1+1 0 故有唯一零解（0，0）由得故（3，-2）为稳定焦点。三、 证明题由解的存在唯一性定理知：n 阶齐线性方程一定存在满足如下条件的 n 解：考虑从而是线性无关的.常微分方程期终试卷（2） 一、填空题 30％1、 形如____________的方程，称为变量分离方程，这里。分别为 x.y 的连续函数.2、 形如_____________的方程，称为伯努利方程，这里的连续函数。n3、 假如存在常数_____________对于所有函数称为在 R 上关于满足利普希兹条件。4、 形如_____________—的方程，称为欧拉方程，这里5、 设的某一解，则它的任一解_____________-。二、计算题 40％1、 求方程2、 求方程的通解。3、 求方程的隐式解。4、 求方程三、证明题 30%1。试验证=是方程组 x=x，x=，在任何不包含原点的区间 a 上的基解矩阵。2。设为方程 x=Ax（A 为 nn 常数矩阵）的标准基解...
