平面向量的坐标表示及其运算

一. 情境引入上海市莘庄中学的健美操队四名队员 A、B、C、D 在一个长 10 米,宽 8 米的矩形表演区域 EFGH 内进行健美操表演.（1）若在某时刻，四名队员 A、B、C、D 保持如图 1 所示的平行四边形队形.队员 A 位于点 F 处，队员 B 在边 FG 上距 F 点 3 米处，队员 D 位于距 EF 边 2 米距 FG 边 5 米处。你能确定此时队员 C 的位置吗？［说明] 此时队员 C 在位于距 EF 边 5 米距 FG 边 5 米处。这个图形比较特别，学生很快就会得到答案，这时老师引入第二个问题。（2)若在某时刻，四名队员 A、B、C、D 保持如图 2 所示的平行四边形队形。队员 A 位于距 EF 边 2 米距 FG 边 1 米处，队员 B 在距 EF 边 6 米距 FG 边 3 米处，队员 D 位于距 EF 边 4米距 FG 边 5 米处。你能确定此时队员 C 的位置吗？二．学习新课1。 向量的正交分解 我们称在平面直角坐标系中,方向与 x 轴和 y 轴正方向分别相同的的两个单位向量叫做基本单位向量，分别记为,如图,称以原点 O 为起点的向量为位置向量，如下图左，即为一个位置向量。思考 1：对于任一位置向量，我们能用基本单位向量来表示它吗？如上图右，设假如点 A 的坐标为,它在小 x 轴,y 轴上的投影分别为 M，N，那么向量能用向量与来表示吗？（依向量加法的平行四边形法则可得），与能用基本单位向量来表示吗？（依向量与实数相乘的几何意义可得）,于是可得:由上面这个式子,我们可以看到:平面直角坐标系内的任一位置向量都能表示成两个相互垂直的基本单位向量的线性组合,这种向量的表示方法我们称为向量的正交分解。2。向量的坐标表示 思考 2：对于平面直角坐标系内的任意一个向量，我们都能将它正交分解为基本单位向量的线性组合吗?如下图左。 显然,如上图右,我们一定能够以原点 O 为起点作一位置向量,使.于是,可知：在平面直角坐标系内，任意一个向量都存在一个与它相等的位置向量。由于这一点，我们讨论向量的性质就可以通过讨论其相应的位置向量来实现。由于任意一个位置向量都可以正交分解为基本单位向量的线性组合，所以平面内任意的一个向量都可以正交分解为基本单位向量的线性组合。即：== 上式中基本单位向量前面的系数 x，y 是与向量相等的位置向量的终点 A 的坐标。由于基本单位向量是固定不可变的，为了简便，通常我们将系数 x，y 抽取出来,得到有序实数对（x，y）.可知有序实数对（x,y...