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2025年数列的极限知识点方法技巧例题附答案和作业题

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一、知识要点1 数列极限的定义:一般地,假如当项数无限增大时,无穷数列{an}的项无限趋近于某个常数(即|an-a|无限地靠近于 0),那么就说数列{an}以为极限记作.(注:a 不一定是{an}中的项)2 几种重要极限:(1)limn→∞1n=0(2)limn→∞C=C(C 是常数)(3)limn→∞an=¿{0 (|a|<1)¿{1, (a=1)¿¿¿¿(4)limn→∞a0nt+a1nt−1+⋯+at−1n+atb0ns+b1ns−1+⋯+bs−1n+bs=¿{0 (s>t)¿{a0b0(s=t)¿¿¿¿3.数列极限的运算法则:假如limn→∞an=A , limn→∞bn=B,那么limn→∞(an+bn)=A+B limn→∞(an−bn)=A−Blimn→∞(an.bn)=A .B limn→∞anbn= AB ( B≠0)4.无穷等比数列的各项和⑴ 公比的绝对值不不小于 1 的无穷等比数列前 n 项的和,当 n 无限增大时的极限,叫做这个无穷等比数列各项的和,记做⑵二、措施与技巧⑴ 只有无穷数列才也许有极限,有限数列无极限.⑵ 运用数列极限的运算法则求数列极限应注意法则适应的前提条件.(参与运算的数列均有极限,运算法则适应有限个数列情形)⑶ 求数列极限最终往往转化为1nm (m ∈N )或qn(|q|<1)型的极限.⑷ 求极限的常用措施:① 分子、分母同步除以或.② 求和(或积)的极限一般先求和(或积)再求极限.③ 运用已知数列极限(如limn→∞qn=0 (|q|<1), limn→∞1n=0⋯等).④ 含参数问题应对参数进行分类讨论求极限.∞⑤ -∞,∞∞ ,0-0,00 等形式,必须先化简成可求极限的类型再用四则运算求极限题型讲解例 1 求下列式子的极限:①limn→∞(−1)n√n; ②limn→∞3n2+2n+1n2+1; ③limn→∞2n+1n2+1 ; ④limn→∞2n2+n+75n2+7; (2)limn→∞ (√n2+n-n);(3)limn→∞ (2n2 +4n2+…+2nn2 )例 2limn→∞ an=A , limn→∞bn=B是limn→ ∞(an+bn)=A+B的( )A 充足必要条件 B 充足不必要条件 C 必要不充足条件 D 既不充足又不必要条件例 3 数列{an}和{bn}都是公差不为 0 的等差数列,且limn→∞anbn =3,求limn→∞a1+a2+⋯+annb2 n的值为例4求limn→∞an−a−nan+a−n (a>0);例5已知limn→∞( n2+1n+1 −an−b)=1,求实数 a,b 的值;例6已知等比数列{an}的首项为 a1,公比为 q,且有limn→∞ (a11+q -qn)=12 ,求 a1的取值范围例 7 已知数列{an}是由正数构成的数列,a1=3,且满足 lgan=lgan-1+lgc,其中 n 是不小于 1 的整数,c是正数.(1)求数列{an}的通项公式及前 n 和 Sn;...

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