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2025年全国高中数学联合竞赛湖北省预赛

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全国高中数学联合竞赛湖北省初赛试题参照答案及评分原则讲明:评阅试卷时,请根据本评分原则。填空题只设 7 分和 0 分两档;解答题的评阅,只要思绪合理、环节对的,在评卷时可参照本评分原则合适划分档次评分。一、填空题〔此题总分值 56 分,每题 7 分。〕1.复数满足,那么 0 .2.设,,那么的值域为.3.设等差数列的前 n 项和为,假设,那么中最大的是.4.O 是锐角△ABC 的外心,,假设,且,那么.5.正方体的棱长为 1,O 为底面 ABCD 的中心,M,N 分不是棱 A1D1和 CC1的中点.那么四面体的体积为.6.设,且,,那么符合条件的共有 1600 组.〔注:次序不一样视为不一样组.〕7.设,那么的最小值为.8 . 设 p 是 给 定 的 正 偶 数 , 集 合的 所 有 元 素 的 和 是.二、解答题〔此题总分值 64 分,第 9 题 14 分,第 10 题 15 分,第 11 题 15 分,第 12 题 20 分。〕9.设数列满足,,其中.〔1〕证明:对一切,有;〔2〕证明:.证明 〔1〕在关系式中,令,可得;令,可得 ①令,可得 ②由①得,,,,代入②,化简得. ------------------------------------------7 分〔 2 〕 由, 得, 故 数 列是 首 项 为,公差为 2 的等差数列,因此.因此.由于,因此. ------------------------------------------14 分10.求不定方程的正整数解的组数.解 令,,,那么.先考虑不定方程满足的正整数解.,,.----------------------------------5 分当时,有,此方程满足的正整数解为.当时,有,此方程满足的正整数解为.因此不定方程满足的正整数解为. ------------------------------------------10 分又方程的正整数解的组数为,方程的正整数解的组数为,故由分步计数原理知,原不定方程的正整数解的组数为. ------------------------------------------15 分11.抛物线 C:与直线 l:没有公共点,设点 P 为直线 l 上的动点,过 P 作抛物线C 的两条切线,A,B 为切点.(1)证明:直线 AB 恒过定点 Q;(2)假设点 P 与〔1〕中的定点 Q 的连线交抛物线 C 于 M,N 两点,证明:.证明 (1)设,那么.由得,因此.因此抛物线 C 在 A 点处的切线方程为,即. 设,那么有. 设,同理有.因此 AB 的方程为,即,因此直线 AB 恒过定点. ------------------------------------------7 分 (2)PQ 的方程为,与抛...

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