2025年全国高中数学联合竞赛湖北省预赛VIP专享

全国高中数学联合竞赛湖北省初赛试题参照答案及评分原则讲明：评阅试卷时，请根据本评分原则。填空题只设 7 分和 0 分两档；解答题的评阅，只要思绪合理、环节对的，在评卷时可参照本评分原则合适划分档次评分。一、填空题〔此题总分值 56 分，每题 7 分。〕1．复数满足，那么 0 ．2．设，，那么的值域为．3．设等差数列的前 n 项和为，假设，那么中最大的是．4．O 是锐角△ABC 的外心，，假设，且，那么．5．正方体的棱长为 1，O 为底面 ABCD 的中心，M，N 分不是棱 A1D1和 CC1的中点．那么四面体的体积为．6．设，且，，那么符合条件的共有 1600 组．〔注：次序不一样视为不一样组．〕7．设，那么的最小值为．8 ． 设 p 是 给 定 的 正 偶 数 ， 集 合的 所 有 元 素 的 和 是．二、解答题〔此题总分值 64 分，第 9 题 14 分，第 10 题 15 分，第 11 题 15 分，第 12 题 20 分。〕9．设数列满足，，其中．〔1〕证明：对一切，有；〔2〕证明：．证明 〔1〕在关系式中，令，可得；令，可得 ①令，可得 ②由①得，，，，代入②，化简得． ------------------------------------------7 分〔 2 〕 由， 得， 故 数 列是 首 项 为，公差为 2 的等差数列，因此．因此．由于，因此． ------------------------------------------14 分10．求不定方程的正整数解的组数．解 令，，，那么．先考虑不定方程满足的正整数解．，，．----------------------------------5 分当时，有，此方程满足的正整数解为．当时，有，此方程满足的正整数解为．因此不定方程满足的正整数解为． ------------------------------------------10 分又方程的正整数解的组数为，方程的正整数解的组数为，故由分步计数原理知，原不定方程的正整数解的组数为． ------------------------------------------15 分11．抛物线 C：与直线 l：没有公共点，设点 P 为直线 l 上的动点，过 P 作抛物线C 的两条切线，A，B 为切点．(1)证明：直线 AB 恒过定点 Q；(2)假设点 P 与〔1〕中的定点 Q 的连线交抛物线 C 于 M，N 两点，证明：．证明 (1)设，那么．由得，因此．因此抛物线 C 在 A 点处的切线方程为，即． 设，那么有． 设，同理有．因此 AB 的方程为，即，因此直线 AB 恒过定点． ------------------------------------------7 分 (2)PQ 的方程为，与抛...