例谈目标函数中变量的选择孔祥武（##省##市第一中学 ， 213003）我们在解析几何中求最值 X 围时,常常需要构建合适的目标函数,把问题转化为函数的最值问题
解题的关键是分析引起函数值变动的原因，这个原因可能是某条线段的长度变化引起的，可能是某条直线的斜率变化引起的，亦可能是某个点的坐标变化引起的，等等．“横看成岭侧成峰,远近高低各不同”,从不同的角度看问题，选择不同的变量,会产生繁简不一的方法，因此在解题伊始，我们需要多维度思考,选择合适的变量
下面介绍几个例子来说明问题
1选择点的坐标作变量例 1 （##市 2024 年高三调研测试）如图 1，在平面直角坐标系中，椭圆 C：（）的左焦点为，右顶点为 A，动点 M 为右准线上一点（异于右准线与轴的交点），设线段交椭圆 C 于点 P，已知椭圆 C 的离心率为，点 M 的横坐标为．（1）求椭圆 C 的标准方程；（2）设直线的斜率为，直线 MA 的斜率为，求的取值 X 围．分析 斜率乘积的变化可看作是由点的坐标变化引起的．我们习惯先设点，进而直线与椭圆联立, 解出交点的坐标，可以预见表达式非常复杂；若改变这种既定的顺序，先设点，再求点，则巧妙避开了直线与椭圆联立的繁琐过程． 解 （1）椭圆 C 的标准方程为(过程略)． （2）设点（），点 M ， 因为点、P、M 三点共线， 所以，即， 故 点 M ． 又，， 则==． 因为点 P 在椭圆 C 上， 所以， 即．M A P FOx y 图 1 ===，（）， 则, 所以的取值 X 围是． 值得一提的是选择点的坐标作变量有时带有轨迹的思想,可先求出满足限制条件的点的轨迹方程,然后再求解最值问题
例 2 已知圆与轴相交于两点，圆内一动点使、、成等比数列，求的 X 围
分析 向量数量积的变化可看作是由点的坐标变化引起的,同时设坐标入手更容易表达点在圆内的特征和处理向量点乘
