第2章-2.2-第二课时基本不等式的应用VIP专享

第二课时 基本不等式的应用课标要求素养要求1.进一步熟练掌握基本不等式，能够通过拼凑、变形等利用基本不等式求最值.2.能够利用基本不等式解决实际问题.通过学习掌握基本不等式及其应用，重点提升数学运算、逻辑推理、数学建模素养.教材知识探究(1)某养殖场要用 100 米的篱笆围成一个矩形的鸡舍，怎样设计才能使鸡舍面积最大？(2)某农场主想用篱笆围成一个 10 000 平方米的矩形农场，怎样设计才能使所用篱笆最省呢？问题 实例中两个问题的实质是什么？如何求解？提示 这两个都是求最值问题.第一个问题是矩形周长一定，即长 x 与宽 y 的和一定，求 xy 的最大值，xy≤＝252＝625，即鸡舍为正方形，长与宽各为 25 米时鸡舍面积最大.第二个问题是矩形面积一定，求矩形长 x 与宽 y 之和最小问题，x＋y≥2＝2＝200，当且仅当 x＝y＝100 时，即当农场为正方形，边长为 100 米时，所用篱笆最省.1.基本不等式与最大 ( 小 ) 值 口诀：和定积最大，积定和最小两个正数的和为常数时，它们的积有最大值；两个正数的积为常数时，它们的和有最小值.(1)已知 x，y 都是正数，假如和 x＋y 等于定值 S，那么当 x ＝ y 时，积 xy 有最大值 S 2 .(2)已知 x，y 都是正数，假如积 xy 等于定值 P，那么当 x ＝ y 时，和 x＋y 有最小值 2.2.基本不等式在解决实际问题中有广泛的应用，是解决最大(小)值问题的有力工具.教材拓展补遗[微推断]1.对于实数 a，b，若 a＋b 为定值，则 ab 有最大值.(×)提示 a，b 为正实数.2.对于实数 a，b，若 ab 为定值，则 a＋b 有最小值.(×)提示 a，b 为正实数.3.若 x>2，则 x＋的最小值为 2.(×)提示 当且仅当 x＝1 时才能取得最小值，但 x>2.[微训练]1.已知正数 a，b 满足 ab＝10，则 a＋b 的最小值是________.解析 a＋b≥2＝2，当且仅当 a＝b＝时等号成立.答案 22.已知 m，n∈R，m2＋n2＝100，则 mn 的最大值是________.解析 由 m2＋n2≥2mn，∴mn≤＝50.当且仅当 m＝n＝±5 时等号成立.答案 50[微思考]1.利用基本不等式求最大值或最小值时，应注意什么问题呢？提示 利用基本不等式求最值时应注意：一正，二定，三相等.2.已知 x，y 为正数，且＋＝1，求 x＋y 的最小值.下面是某同学的解题过程：解：因为 x>0，y>0，所以 1＝＋≥2×＝，所以≥4.从而 x＋y≥2≥2×4＝8.故 x＋y 的最小值为 8.请分析上面解法是否正确，并说明理由.解...