不等式的证明和应用知识定位 不等式是数学竞赛的热点之一。由于不等式的证明难度大，灵活性强，要求很高的技巧，常常使它成为各类数学竞赛中的“高档”试题。而且，不论是几何、数论、函数或组合数学中的许多问题，都可能与不等式有关，这就使得不等式的问题（特别是有关不等式的证明）在数学竞赛中显得尤为重要。证明不等式同大多数高难度的数学竞赛问题一样，没有固定的模式，证法因题而异，灵活多变，技巧性强。但它也有一些基本的常用方法，要熟练掌握不等式的证明技巧，必须从学习这些基本的常用方法开始。知识梳理1.不等式三个基本性质：① 不等式两边都加上(或减去)同一个数或同一个整式，不等号的方向不变。② 不等式两边都乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变。③ 不等式两边都乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变。2.一元一次不等式组的解集：几个一元一次不等式的解集的公共部分，叫做由它们所组成的一元一次不等式组的解集。 设 a>b,不等式组{x>a¿¿¿¿的解集是 x>a {x
b¿¿¿¿的解集是 ba¿¿¿¿的解集是空集3.不等式证明的基本方法：（1）比较法比较法可分为差值比较法和商值比较法。差值比较法：原理 A－ B＞0A＞B．商值比较法：原理 若>1，且 B>0，则 A>B。3.不等式的应用：（1）几何中证明线段或角的不等关系常用以下定理① 三角形任意边两边的和大于第三边，任意两边的差小于第三边。② 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角和。③ 在一个三角形中，大边对大角，大角对大边。直角三角形中，斜边大于任一直角边。④ 有两组边对应相等的两个三角形中 假如这两边的夹角大，那么第三边也大；假如第三边大，那么它所对的角也大。⑤ 任意多边形的每一边都小于其他各边的和（2） 不等式(组)的应用主要表现在：作差或作商比较数的大小；求代数式的取值范围；求代数式的最值，列不等式(组)解应用题．其中，不等式(组)解应用题与列方程解应用题的步骤相仿，一般步骤是： （1）弄清题意和题中的数量关系，用字母表示未知数； （2）找出能够表示题目全部含义的一个或几个不等关系； （3）列出不等式(组)；（4）解这个不等式(组)，求出解集并作答．例题精讲【题目】已知 x＜0，-1＜y＜0，将 x，xy，xy2按由小到大的顺序排列．【答案】x＜xy2＜xy．【解析】分析 用作差法比较大小，即若 a-b＞0，则 a＞b；若 a-b＜0，则 a＜b． 解 因为 x-xy=x(1-y)，...
