多元连续函数的零点定理及应用

多元连续函数的零点定理及应用【摘要】本文探讨多元连续函数的零点定理及其在一道线性代数问题中的应用。在当前通用的数学分析及微积分教材中，多元连续函数的性质都较少涉及。本文从一道经典的二次型习题出发，讨论多元连续函数的零点定理并讨论在该题中的应用。试图探讨微积分如何在其他学科中应用，使知识能有效在不同学科之间融会贯穿并收到好的教学效果。【关键词】二次型；连续函数；零点定理连续函数是微积分中讨论的主要对象。无论一元函数微分学还是多元函数的微分学都是基于连续函数讨论的，积分学则可将条件适当放宽。在当前通用的数学分析和微积分教材中，对一元连续函数的性质进行了深化细致的介绍，但对于多元连续函数的性质却较少涉及。本文针对一道经典的二次型习题，结合常用的解法及连续函数性质在这道习题的应用进行探讨，抛砖引玉，希望能和各位同仁沟通和讨论。连续函数零点定理首先我们回顾一元连续函数的零点定理。定理：设 h（x）是闭区间上的连续函数。若 h（a）h（b）<0，则至少存在一点 c∈（a，b）使得 h（c）=0。我们可以看出，例 1 中的条件与结论和零点定理中的条件与结论几乎完全一致，唯一不同之处在于零点定理讨论的是一元函数而例 1 中的二次型是 n 个变量的连续函数。零点定理中结论中函数的零点是满足条件 a或者将坐标写成 x=μx1+（1-μ）x2，y=μy1+（1-μ）y2。即直线 AB 上任一点的坐标可由 A，B 两点的坐标来表达。这样的构造Rn 也是自然成立的。于是我们有：定理：设是中闭区域上的连续函数。若存在两点使得，则至少存在一点使得。证：设的坐标分别为。我们首先考虑为凸集的情况，即对任意，总有点。这样的点集实际上就是中连接两点的线段。构造函数。g（t）=F（tx1+（1-t）y1，…，txn（1-t）yn）。则 g（t）是闭区间[0，1]上的连续函数且g（0）=F（P2），g（1）=F（P1）。故 g（0）g（1）<0，从而有一元连续函数的零点定理，存在 t0∈（0，1）使得 g（t0）=0。将 t0 对应的点（t0x1+（1-t0）y1，…，t0xn+（1+t0）yn 记作 P0，则f（P0）=g（t0）=0。其次一般情况下，因为 D 是 Rn 中闭区域，故闭区域D 中两点 P1，P2 总是可通过有限条线段连接。若在某条线段的端点出函数值为零则结论已成立。否则，总是存在某一条线段使得其两个端点处的函数值异号，这样就回到了我们开始证明的情况。于是得证。参考文献[1]北京大学数学系，高等代数（第二版），高等教育出版社，19...