对数平均数的不等关系链的应用

1111bln baln aa a0baln bln aaln bln a,1n1ln n1ln n,,1n 1对数平均数的不等关系链的应用安徽岳 峻中学数学教育专家安振平在剖析 2024 年陕西高考数学时指出，其压轴题的理论背景是：a2b2abba2当 ba0 时， b22ln bln aab11a .aba  b其中被称为对数平均值.ln aln b对数平均数的不等式链，提供了多种巧妙放缩的途径，可以用来证明含自然对数的不等式问题．对数平均数的不等式链包含多个不等式，我们可以根据证题需要合理选取其中一个达到不等式证明的目的．1b的应用例 1 （2024 年陕西）设函数 f (x)  ln(1 x) ，g(x)  xf (x) ，其中 f (x) 是（1）（2）（略）f (x) 的导函数．（3）设 n  N  ，比较 g 1 g 2 g n与 n  f n 的大小，并加以证明．x解析（3）因为 g x ，1 x所以 g 1 g 2  g n  1  2  n n   1  1 1  ，23n 1 23n 1 而 n  f n  n  ln n 1 ，因此，比较 g 1 g 2  g n与 n  f n 的大小，即只需比较1  1  1 与 ln n 1 的大小即可．23n 1根据 ba0 时， b，即 1 bb令 an,bn1, 则所以 ln 2  ln1  ln 2 ，  ln 3  ln 2 ，ln(n 1)  ln n ，23将以上各不等式左右两边相加得：23故 g 1 g 2 g n  n  f n.1n 1 ln n 1 ，评注 本题是高考试题的压轴题，难度较大，为了降低试题的难度实行多步设问，层层递进，上问结论，用于下问，其第二问是为第三问做铺垫的“梯子”，尽管如此，步骤依旧繁琐，求解过程复杂，但我们这里应用对数平均数不等式链来证明，思路简捷，别具新意，易于学生理解、掌握．当 ba0 时，baa ，即 ln b ln a1 bani12n,bn1,1112131n22n 1baln bln aaln bln a,222 n112n1ln 2n1ln 2n1 ,23ln 3ln1, 25ln 5ln 3, 27ln 7ln 5,,22 n11ln 2n1ln 2n1 ,22n 1a2b22bln baln a ba0n n 11a2b22bln baln a, 令 aln bln aa则 ln n1ln n1 , 可得： ln n.n例 2 （2024 年天津）已知函数 f x  x  ln x  aa  0的最小值为 0．（1）（2）（略）（3）证明： ...