无穷积分的收敛性与无穷远处的极限

无穷积分的收敛性与无穷远处的极限打开文本图片集【摘要】无穷积分在物理学和概率统计上具有十分广泛的应用。无穷积分收敛并不意味着被积函数在无穷远处的极限为 0，本文给出一些保证上述结论成立的充分条件。更进一步，在单调性的条件下可以给出无穷小量阶的估量。最后举例说明了本文的结果可以帮助推断某些函数的非一致连续性。【关键词】无穷积分 无穷小量的阶 一致连续1.前言在定积分的讨论中，我们在一个有限闭区间[a，b]上讨论有界函数f（x），若函数永远在 x 轴的上方，我们说■f（x）dx 表示的就是函数图形下的面积。然而实际中有限区间上定积分的应用是非常有限的，通常我们需要考虑无穷积分和瑕积分等反常积分。例如在概率论与数理统计中，指数分布具有如下的概率密度函数p（x）=λe-λx，x>00，otherwise由于服从指数分布的随机变量只能取值于非负实数，从而常常被用來描述各种有关寿命的分布，像灯泡的寿命，动物的寿命，排队论中的服务时间等。我们比较感兴趣的量，比如若某工厂生产的灯泡寿命服从参数为0.01 的指数分布，则灯泡的平均寿命为■0.01xe-0.01xdx 于是讨论无穷积分是非常有必要的。当 f（x）≥0，a 通常为一个非负常数时，由■f（x）dx 的几何意义来看，似乎当 x 越大时，f（x）的值要很小才能保证无穷积分■f（x）dx的收敛性。然而我们很容易举出反例：f（x）=■，x 不是正整数 1，x 是正整数则无穷积分■f（x）dx 收敛，但是 f（x）永远在正整数点处为 1，从而不满足■f（x）=0 我们还发现，无穷积分■f（x）dx 收敛，加上被积函数的非负性甚至是非负性加连续性都不能保证被积函数 f（x）在无穷远处的极限为 0。于是本文讨论■f（x）dx 收敛与■f（x）=0 的关系，并指出在合适的条件下■f（x）dx 收敛能够推出■f（x）=0。2.1 被积函数在无穷远处极限为 0 的充分条件首先给出在被积函数是[a，+∞）上一致连续的时候，此时无穷积分收敛可以得到被积函数在无穷远处的极限为 0。定理 2.1 若函数 f（x）在[a，+∞）上一致连续，且无穷积分■f（x）dx 收敛，证明■f（x）=0证明：（反证法）若 x→+∞时，f（x）→0。则存在？缀 0>0，对？坌 A>0，存在 x1>A，s.t."f（x1）|≥？缀 0。又 f（x）在[0，+∞）上一致连续，则对■>0，？埚 δ>0，当|x"-x""|≤δ 时，有|f（x"）-f（x""）||f（x）|=|f（x）-f（x1）+f（x1）|>||f（x）|-|f（x）-f（x1）||>■则必有 f（x）与 f（x1）同...