第一章极限计算方法总结一、极限定义、运算法则与一些结果1.定义:数列极限、函数极限, 说明:(1)一些最简单得数列或函数得极限(极限值可以观察得到)都可以用上面得极限严格定义证明,例如:;;等。定义证明按着总结得四个步骤来,缺一不可！(2)在后面求极限时,(1)中提到得简单极限作为已知结果直接运用,而不需再用极限严格定义证明。2.极限运算法则定理 1 已知 ,都存在,极限值分别为 A,B,则下面极限都存在,且(1)(2)(3) 说明:极限号下面得极限过程就是一致得;同时注意法则成立得条件,当条件不满足时,不能用。3.两个重要极限(1) (2) ; 说明:(1)不仅要能够运用这两个重要极限本身,还应能够熟练运用它们得变形形式。 (2)一定注意两个重要极限成立得条件。 例如:,,;等等。4.等价无穷小定理 2 无穷小与有界函数得乘积仍然就是无穷小(即极限就是 0)。定理 3 当时,下列函数都就是无穷小(即极限就是 0),且相互等价,即有:～～～～～～ 。说明:当上面每个函数中得自变量 x 换成时(),仍有上面得等价关系成立,例如:当时, ～ ; ～ 。 定理 4 假如函数都就是时得无穷小,且～,～,则当存在时,也存在且等于。5.连续性 定理 5 一切连续函数在其定义去间内得点处都连续,即假如就是函数得定义去间内得一点,则有 。求极限得一个方法。6.极限存在准则 定理 6(准则 1) 单调有界数列必有极限。 定理 7(准则 2) 已知为三个数列,且满足:(1) (2) , 则极限一定存在,且极限值也就是 a ,即。二、求极限方法举例1． 用初等方法变形后,再利用极限运算法则求极限例 1 解:原式= 。注:本题也可以用洛比达法则。例 2 解:原式= 。例 3 解:原式 。2． 利用函数得连续性(定理 6)求极限例 4 解:因为就是函数得一个连续点, 所以 原式= 。3． 利用两个重要极限求极限例 5 解:原式= 。注:本题也可以用洛比达法则(第三章)例 6 解:原式= 。例 7 解:原式= 。4． 利用定理 2 求极限例 8 解:原式=0 (定理 2 得结果)。5． 利用等价无穷小代换(定理 4)求极限 例 9 解:～,～, 原式= 。例 10 解:原式= 。注:下面得解法就是错误得: 原式= 。 正如下面例题解法错误一样: 。例 11 解:, 所以, 原式= 。(最后一步用到定理 2)5． 利用极限存在准则求极限例 20 已知,求解:易证:数列单调递增,且有界(0<<2),由准则 1 极限存在,设 。对已知得递推公式 两边求极限,得: ,解得:或(不合题意,舍去)所以 。例 2...
