第 8 讲：数论综合一兴趣篇1
假如某整数同时具备如下三个性质：① 这个数与 1 的差是质数；② 这个数除以 2 所得的商也是质数；③ 这个数除以 9 所得的余数是 5
那么我们称这个整数为“幸运数”
求出所有的两位幸运数
【答案】14【分析】方法一：从条件③入手，则概数应为 5、14、23,而该数为 2 的倍数，所以应为偶数，所以应为 14、32、 50、68、86 中的一组，满足条件的只有 1 个，14
方法二：题目给出了所谓幸运数具备的三个条件，要求的是所有的两位幸运数．这就使求解的范围缩小在两位数之内．可以先从条件②入手，再利用条件①和③，最终求出所有的两位幸运数．设所求的幸运数是质数的两倍，即此幸运数为，则的所有可能取值为5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47．于是的所有可能取值为 9、13、21、25、33、37、45、57、61、73、81、85、93．根据条件①，应为质数，因此只可能为 13、37、61 或 73．再由条件③知除以 9 所得余数应为 4，于是只能等于 13，从而这个幸运数只能是．2
一个五位数，空格中的数未知
请问：（1）假如该数能被 72 整除，这个五位数是多少
（2）假如该数能被 55 整除，这个五位数是多少
【答案】（1）86256；（2）85250【分析】（1）从 8，9 整除特征考虑，8 需要个位填 6；9 千位填 6
（2）从 5，11 的特征考虑，5 个位填 5 或 0，当个位为 5 时，该数为，奇数位数字和为：15；偶数位数字和为：，则不符合情况；当个位为 0 时，该数为，奇数位数字之和为：10，偶数位数字之和为，则千位可填 5
在小于 5000 的自然数中，能被 11 整除、并且所有数字之和为 13 的数共有多少个
【答案】18 个【分析】令为，数位不够高位补 0，和为奇数有①，且，
