第 8 讲：数论综合一兴趣篇1.假如某整数同时具备如下三个性质：① 这个数与 1 的差是质数；② 这个数除以 2 所得的商也是质数；③ 这个数除以 9 所得的余数是 5。那么我们称这个整数为“幸运数”。求出所有的两位幸运数。 【答案】14【分析】方法一：从条件③入手，则概数应为 5、14、23,而该数为 2 的倍数，所以应为偶数，所以应为 14、32、 50、68、86 中的一组，满足条件的只有 1 个，14。方法二：题目给出了所谓幸运数具备的三个条件，要求的是所有的两位幸运数．这就使求解的范围缩小在两位数之内．可以先从条件②入手，再利用条件①和③，最终求出所有的两位幸运数．设所求的幸运数是质数的两倍，即此幸运数为，则的所有可能取值为5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47．于是的所有可能取值为 9、13、21、25、33、37、45、57、61、73、81、85、93．根据条件①，应为质数，因此只可能为 13、37、61 或 73．再由条件③知除以 9 所得余数应为 4，于是只能等于 13，从而这个幸运数只能是．2.一个五位数，空格中的数未知。请问：（1）假如该数能被 72 整除，这个五位数是多少？（2）假如该数能被 55 整除，这个五位数是多少？【答案】（1）86256；（2）85250【分析】（1）从 8，9 整除特征考虑，8 需要个位填 6；9 千位填 6。 （2）从 5，11 的特征考虑，5 个位填 5 或 0，当个位为 5 时，该数为，奇数位数字和为：15；偶数位数字和为：，则不符合情况；当个位为 0 时，该数为，奇数位数字之和为：10，偶数位数字之和为，则千位可填 5。3.在小于 5000 的自然数中，能被 11 整除、并且所有数字之和为 13 的数共有多少个？【答案】18 个【分析】令为，数位不够高位补 0，和为奇数有①，且， 7×2=14 个②，且， 7×2=14 个共 28 个4.一个各位数字均不为 0 的三位数能被 8 整除，将其百位数字、十位数字和个位数字分别划去后可以得到三个两位数（例如，按此方法由 247 将得到 47、27、24）。已知这些两位数中一个是 5 的倍数，另一个是 6 的倍数，还有一个是 7 的倍数，原来的三位数是多少？【答案】656【分析】有个 5，5 作十位考虑 7 的倍数：56656考虑 6 的倍数：54154只有 656 是 8 的倍数。5、26460 的所有的约数中，6 的倍数有多少个？与 6 互质的有多少个？【答案】36 个；6 个【分析】26460÷6=4410=2×32×5×72 约数个数（1...
