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第2章-2.2-第二课时基本不等式的应用

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第二课时 基本不等式的应用课标要求素养要求1.进一步熟练掌握基本不等式,能够通过拼凑、变形等利用基本不等式求最值.2.能够利用基本不等式解决实际问题.通过学习掌握基本不等式及其应用,重点提升数学运算、逻辑推理、数学建模素养.教材知识探究(1)某养殖场要用 100 米的篱笆围成一个矩形的鸡舍,怎样设计才能使鸡舍面积最大?(2)某农场主想用篱笆围成一个 10 000 平方米的矩形农场,怎样设计才能使所用篱笆最省呢?问题 实例中两个问题的实质是什么?如何求解?提示 这两个都是求最值问题.第一个问题是矩形周长一定,即长 x 与宽 y 的和一定,求 xy 的最大值,xy≤=252=625,即鸡舍为正方形,长与宽各为 25 米时鸡舍面积最大.第二个问题是矩形面积一定,求矩形长 x 与宽 y 之和最小问题,x+y≥2=2=200,当且仅当 x=y=100 时,即当农场为正方形,边长为 100 米时,所用篱笆最省.1.基本不等式与最大 ( 小 ) 值 口诀:和定积最大,积定和最小两个正数的和为常数时,它们的积有最大值;两个正数的积为常数时,它们的和有最小值.(1)已知 x,y 都是正数,假如和 x+y 等于定值 S,那么当 x = y 时,积 xy 有最大值 S 2 .(2)已知 x,y 都是正数,假如积 xy 等于定值 P,那么当 x = y 时,和 x+y 有最小值 2.2.基本不等式在解决实际问题中有广泛的应用,是解决最大(小)值问题的有力工具.教材拓展补遗[微推断]1.对于实数 a,b,若 a+b 为定值,则 ab 有最大值.(×)提示 a,b 为正实数.2.对于实数 a,b,若 ab 为定值,则 a+b 有最小值.(×)提示 a,b 为正实数.3.若 x>2,则 x+的最小值为 2.(×)提示 当且仅当 x=1 时才能取得最小值,但 x>2.[微训练]1.已知正数 a,b 满足 ab=10,则 a+b 的最小值是________.解析 a+b≥2=2,当且仅当 a=b=时等号成立.答案 22.已知 m,n∈R,m2+n2=100,则 mn 的最大值是________.解析 由 m2+n2≥2mn,∴mn≤=50.当且仅当 m=n=±5 时等号成立.答案 50[微思考]1.利用基本不等式求最大值或最小值时,应注意什么问题呢?提示 利用基本不等式求最值时应注意:一正,二定,三相等.2.已知 x,y 为正数,且+=1,求 x+y 的最小值.下面是某同学的解题过程:解:因为 x>0,y>0,所以 1=+≥2×=,所以≥4.从而 x+y≥2≥2×4=8.故 x+y 的最小值为 8.请分析上面解法是否正确,并说明理由.解...

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