第二章 推理与证明2.1 合情推理与演绎推理2.1.1 合情推理A 级 基础巩固一、选择题1．已知 ＝， ＝， ＝4，….若 ＝6(a，b∈R)，则( )A．a＝5，b＝24 B．a＝6，b＝24C．a＝6，b＝35 D．a＝5，b＝35解析：观察式子的特点可知，分式的分子 a 与根号外的数相同，而分母 b 则为 a 的平方减 1.答案：C2．用火柴棒摆“金鱼”，如图所示：根据上面的规律，第 n 个“金鱼”图需要火柴的根数为( )A．6n－2 B．8n－2 C．6n＋2 D．8n＋2解析：从①②③可以看出，从图②开始每个图中的火柴棒都比前一个图中的火柴棒多 6 根，故火柴棒数成等差数列，第一个图中火柴棒为 8 根，故可归纳出第 n 个“金鱼”图需火柴棒的根数为 6n＋2.故选 C.答案：C3．设 n 是自然数，则(n2－1)[1－(－1)n]的值( )A．一定是零 B．不一定是偶数C．一定是偶数 D．是整数但不一定是偶数解析：当 n 为偶数时，(n2－1)[1－(－1)n]＝0 为偶数；当 n 为奇数时(n＝2k＋1，k∈N)，(n2－1)[1－(－1)n]＝(4k2＋4k)·2＝k(k＋1)为偶数．所以(n2－1)[1－(－1)n]的值一定为偶数．答案：C4．在平面直角坐标系内，方程＋＝1 表示在 x 轴，y 轴上的截距分别为 a 和 b 的直线，拓展到空间，在 x 轴，y 轴，z 轴上的截距分别为 a，b，c(abc≠0)的平面方程为( )A.＋＋＝1 B.＋＋＝1C.＋＋＝1 D．ax＋by＋cz＝1解析：从方程＋＝1 的结构形式来看，空间直角坐标系中，平面方程的形式应该是＋＋＝1.答案：A5．在数学解题中，常会碰到形如“”的结构，这时可类比正切的和角公式．如：设 a，b 是非等实数，且满足＝tan ，则等于( )A．4 B. C．2 D.解析：将已知式变形，则有＝＝＝tan ＝tan ，类比正切的和角公式，即 tan(α＋β)＝，可知只有当＝tan ＝时，上式成立．答案：D二、填空题6．设 f(x)＝ .利用课本中推导等差数列前 n 项和的公式的方法，可求得 f(－5)＋f(－4)＋…＋f(0)＋…＋f(5)＋f(6)的值为________．解 析 ： 因 为 6 － ( － 5) ＝ 11 ， 所 以 f( － 5) ， f( － 4) ，…，f(5)，f(6)，共有 12 项，课本中推导等差数列前 n 项和的公式的方法是倒序相加法，即因为 a1＋an＝a2＋an－1＝a3＋an－2＝…＝an＋a1，令 Sn＝a1＋a2＋…＋an，则 Sn＝an＋an－1＋…＋a1，所以 2Sn＝(a1＋an)＋(a2＋an－1)＋…＋(an＋a1)＝n(a1＋an)，所以 Sn＝.同理，因为 f(x)＋f(1－x)＝＋＝＋＝＝....
