考点06-周期性(解析式)

考点 6：周期性【思维导图】【常见考法】考点一：利用周期求值1.已知 f(x)是定义在 R 上的偶函数，且 f(x＋4)＝f(x－2)．若当 x∈[－3,0]时，f(x)＝6－x，则 f(919)＝________.【答案】6【解析】 f(x＋4)＝f(x－2)，∴f(x＋6)＝f(x)，∴f(x)的周期为 6， 919＝153×6＋1，∴f(919)＝f(1)．又 f(x)为偶函数，∴f(919)＝f(1)＝f(－1)＝6.2.已知定义在 R 上的奇函数 f(x)有 f＋f(x)＝0，当－≤x≤0 时，f(x)＝2x＋a，则 f(16)的值为 。【答案】【解析】由 f＋f(x)＝0，得 f(x)＝－f＝f(x＋5)，∴f(x)是以 5 为周期的周期函数，∴f(16)＝f(1＋3×5)＝f(1)． f(x)是 R 上的奇函数，∴f(0)＝1＋a＝0，∴a＝－1.∴当－≤x≤0 时，f(x)＝2x－1，∴f(－1)＝2－1－1＝－，∴f(1)＝，∴f(16)＝.3.已知 f(x)是定义域为(－∞，＋∞)的奇函数，满足 f(1－x)＝f(1＋x)．若 f(1)＝2，则 f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(50)＝ 。【答案】2【解析】 f(x)是奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，∴f(1－x)＝－f(x－1)．由 f(1－x)＝f(1＋x)，得－f(x－1)＝f(x＋1)，∴f(x＋2)＝－f(x)，∴f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，∴函数 f(x)是周期为 4 的周期函数．由 f(x)为奇函数得 f(0)＝0.又 f(1－x)＝f(1＋x)，∴f(x)的图象关于直线 x＝1 对称，∴f(2)＝f(0)＝0，∴f(－2)＝0.又 f(1)＝2，∴f(－1)＝－2，∴f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＝f(1)＋f(2)＋f(－1)＋f(0)＝2＋0－2＋0＝0，f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＋…＋f(49)＋f(50)＝0×12＋f(49)＋f(50)＝f(1)＋f(2)＝2＋0＝2.4.已知函数 f（x），则 f（2024）＝ 。【答案】【解析】，当时，，则.5.已知函数满足，，，则 。【答案】【解析】取，代入，得，解得，则当，时， ，解得；当，时， ，解得；当，时， ，解得；当，时， ，解得；当，时， ，解得；当，时， ，解得；是周期为的周期函数，余．6．已知函数满足，，则等于 。【答案】3【解析】则是以 8 为周期的周期函数.所以．7 ． 函 数的 定 义 域 为， 且，. 若 对 任 意 实 数，都 有，则 。【答案】1【解析】将用替换，用替换，由对任意实数，都有，可得，由，所以，即，所以，所以函数的周期，令，则，因为，所以， 所以，考点二：利用周期求解析式1．设是定义在实数集上的周期为 2 的周期函数，且是偶函数，已知当时，，则当时，的解析式为______________【答案】【解析】 f（x）是定义在 R 上的周期为 2 ...