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考点06-周期性(解析式)

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考点 6:周期性【思维导图】【常见考法】考点一:利用周期求值1.已知 f(x)是定义在 R 上的偶函数,且 f(x+4)=f(x-2).若当 x∈[-3,0]时,f(x)=6-x,则 f(919)=________.【答案】6【解析】 f(x+4)=f(x-2),∴f(x+6)=f(x),∴f(x)的周期为 6, 919=153×6+1,∴f(919)=f(1).又 f(x)为偶函数,∴f(919)=f(1)=f(-1)=6.2.已知定义在 R 上的奇函数 f(x)有 f+f(x)=0,当-≤x≤0 时,f(x)=2x+a,则 f(16)的值为 。【答案】【解析】由 f+f(x)=0,得 f(x)=-f=f(x+5),∴f(x)是以 5 为周期的周期函数,∴f(16)=f(1+3×5)=f(1). f(x)是 R 上的奇函数,∴f(0)=1+a=0,∴a=-1.∴当-≤x≤0 时,f(x)=2x-1,∴f(-1)=2-1-1=-,∴f(1)=,∴f(16)=.3.已知 f(x)是定义域为(-∞,+∞)的奇函数,满足 f(1-x)=f(1+x).若 f(1)=2,则 f(1)+f(2)+f(3)+…+f(50)= 。【答案】2【解析】 f(x)是奇函数,∴f(-x)=-f(x),∴f(1-x)=-f(x-1).由 f(1-x)=f(1+x),得-f(x-1)=f(x+1),∴f(x+2)=-f(x),∴f(x+4)=-f(x+2)=f(x),∴函数 f(x)是周期为 4 的周期函数.由 f(x)为奇函数得 f(0)=0.又 f(1-x)=f(1+x),∴f(x)的图象关于直线 x=1 对称,∴f(2)=f(0)=0,∴f(-2)=0.又 f(1)=2,∴f(-1)=-2,∴f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=f(1)+f(2)+f(-1)+f(0)=2+0-2+0=0,f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+…+f(49)+f(50)=0×12+f(49)+f(50)=f(1)+f(2)=2+0=2.4.已知函数 f(x),则 f(2024)= 。【答案】【解析】,当时,,则.5.已知函数满足,,,则 。【答案】【解析】取,代入,得,解得,则当,时, ,解得;当,时, ,解得;当,时, ,解得;当,时, ,解得;当,时, ,解得;当,时, ,解得;是周期为的周期函数,余.6.已知函数满足,,则等于 。【答案】3【解析】则是以 8 为周期的周期函数.所以.7 . 函 数的 定 义 域 为, 且,. 若 对 任 意 实 数,都 有,则 。【答案】1【解析】将用替换,用替换,由对任意实数,都有,可得,由,所以,即,所以,所以函数的周期,令,则,因为,所以, 所以,考点二:利用周期求解析式1.设是定义在实数集上的周期为 2 的周期函数,且是偶函数,已知当时,,则当时,的解析式为______________【答案】【解析】 f(x)是定义在 R 上的周期为 2 ...

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