考点 21 求和方法（第二课时）【思维导图】【常见考法】考点一：奇偶并项求和1．已知数列的前项和是，且.（1）求数列的通项公式；（2）令，求数列前项的和.【答案】(1) ；(2).【解析】（1）由得，于是是等比数列.令得，所以.（2），于是数列是首项为 0，公差为 1 的等差数列. ，所以.2．已知数列的各项均为正数，对任意，它的前项和满足，并且，，成等比数列.（1）求数列的通项公式；（2）设，为数列的前项和，求.【答案】（1），（2）【解析】（1）对任意，有，①当时，有，解得或.当时，有.②①-② 并整理得.而数列的各项均为正数，.当时，，此时成立；当时，，此时，不成立，舍去.，.（2）.3．已知是公差不为零的等差数列，，且，，成等比数列.（1）求数列的通项公式；（2）设，数列的前项和为，求.【答案】（1）（2）【解析】（1）设的公差为，因为，，成等比数列，所以，可得，，得，又，可得，，所以.（2），.4．已知数列的前项和，.（1）求数列的通项公式；（2）若，求数列的前项和.【答案】（1），（2）【解析】（1）由，当时，，当时，，而，所以数列的通项公式，.（2）由（1）可得，当为偶数时，，当为奇数时，为偶数，.综上，.考点二：倒序相加法1．已知函数（），正项等比数列满足，则 。 【答案】【解析】因为函数（），正项等比数列满足，则。2．若函数，则______．【答案】【解析】因为，所以，因此；记，则，因此.故答案为：3．已知函数，则 _________；【答案】【解析】，设 ①则 ②①+② 得，.故答案为 2024.4．设函数,定义,其中,则 。【答案】【解析】，因为,所以．两式相加可得:,．故选 C．5．已知是上的奇函数，，则数列的通项公式为 。【答案】【解析】由题已知是上的奇函数故，代入得： ∴函数关于点对称，令，则，得到． ， 倒序相加可得，即 考法三：其他方法1．为等差数列的前 n 项和，且记，其中表示不超过 x 的最大整数，如.（Ⅰ）求；（Ⅱ）求数列的前 1000 项和.【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）1893.【解析】（Ⅰ）设的公差为，据已知有，解得所以的通项公式为（Ⅱ）因为所以数列的前项和为2．已知首项为 3 的数列的前 n 项和为，且．（1）求数列的通项公式；（2）求证：成等差数列．【答案】(1)；（2）见解析【解析】（1）因为,故,,,,…,,,把上面个等式叠加,得到,故,而,故．（2）由（1）可得,,故,,所以,故成等差数列．3．设公差不为 0 的等差数列的首项为 1，且，，构成等比数列．求数列...
