第二章　函数概念与基本初等函数VIP免费

第二章函数概念与基本初等函数§2.1映射、函数、反函数一、知识导学1.映射：一般地，设A、B两个集合，如果按照某种对应法则，对于集合A中的任何一个元素，在集合B中都有唯一的元素和它对应，那么这样的单值对应叫做集合A到集合B的映射，记作f：A→B.(包括集合A、B及A到B的对应法则)2.函数：设A，B都是非空的数集，如果按某种对应法则，对于集合A中每一个元素，在集合B中都有唯一的元素和它对应，且B中每一个元素都的原象，这样的对应叫做从集合A到集合B的一个函数，记作.其中所有的输入值组成的集合A称为函数定义域.对于A中的每一个，都有一个输出值与之对应，我们将所有输出值组成的集合称为函数的值域.3.反函数：一般地，设函数y=f(x)(x∈A)的值域是C，根据这个函数中x,y的关系，用y把x表示出来，得到x=f-1(y).若对于y在C中的任何一个值，通过x在A中都有唯一的值和它对应，那么x=f-1(y)就表示y是自变量，x是自变量y的函数，这样的函数叫做函数y=f(x)(x∈A)的反函数，记作x=f-1(y).我们一般用x表示自变量，用y表示函数，为此我们常常对调函数x=f-1(y)中的字母x,y，把它改写成y=f-1(x)反函数y=f-1(x)的定义域、值域分别是函数y=f(x)的值域、定义域.二、疑难知识导析1.对映射概念的认识(1)与是不同的，即与上有序的.或者说：映射是有方向的，(2)输出值的集合是集合B的子集.即集合B中可能有元素在集合A中找不到对应的输入值.集合A中每一个输入值，在集合B中必定存在唯一的输出值.或者说：允许集合B中有剩留元素；允许多对一，不允许一对多.(3)集合A，B可以是数集，也可以是点集或其它类型的集合.2.对函数概念的认识（1）对函数符号的理解知道y=与的含义是一样的，它们都表示是的函数，其中是自变量，是函数值，连接的纽带是法则.是单值对应.(2)注意定义中的集合A，B都是非空的数集,而不能是其他集合；（3）函数的三种表示法：解析法，列表法，和图像法.3.对反函数概念的认识（1）函数y=只有满足是从定义域到值域上一一映射，才有反函数；（2）反函数的定义域和值域分别是原函数的值域和定义域，因此反函数的定义域一般不能由其解析式来求，而应该通过原函数的值域而得.（3）互为反函数的函数有相同的单调性，它们的图像关于y=x对称.三、经典例题导讲[例1]设M＝｛a，b，c｝，N＝｛－2,0,2｝,求（1）从M到N的映射种数；（2）从M到N的映射满足(a)>(b)≥f(c),试确定这样的映射的种数.错解：（1）由于M＝｛a，b，c｝，N＝｛－2,0,2｝，结合映射的概念，有，共6个映射(2)由（1）得满足条件的映射仅有一种情况错因：没有找全满足条件的映射个数，关健是对概念认识不清正解：（1）由于M＝｛a，b，c｝，N＝｛－2,0,2｝，结合映射的概念，有一共有27个映射（2）符合条件的映射共有4个[例2]已知函数的定义域为[0，1]，求函数的定义域错解：由于函数的定义域为[0，1]，即，∴的定义域是[1，2]错因：对函数定义域理解不透，不明白与定义域之间的区别与联系，其实在这里只要明白：中取值的范围与中式子的取值范围一致就好了.正解：由于函数的定义域为[0，1]，即∴满足，∴的定义域是[－1，0][例3]已知：，求.错解： ，∴故，∴＝3－3＝0.错因：没有理解分段函数的意义，的自变量是3，应代入中去，而不是代入－5中，只有将自变量化为不小于6的数才能代入解析式求解.正解： ，∴＝＝＝7-5＝2[例4]已知的反函数是，如果与的图像有交点，那么交点必在直线上，判断此命题是否正确？错解：正确错因：对互为反函数的图像关于直线对称这一性质理解不深，比如函数的图像的交点中，点不在直线上，由此可以说明“两互为反函数图像的交点必在直线上”是不正确的.[例5]求函数，的值域.错解：又，的值域是错因:对函数定义中，输入定义域中每一个x值都有唯一的y值与之对应，错误地理解为x的两端点时函数值就是y的取值范围了.正解：配方，得 ，对称轴是∴当时，函数取最小值为2，的值域是[例6]已知，求函数的解析式.错解：由已知得即，∴错因：将函数错误地认为是的反函数，是由于对函数表达式理解不透彻所致，实际上与并不是互为反函数，一般地应该由先求，再去得到.正解：因为的反函数为＝，所以＝＝[例7]根据...