广东饶平二中 2011 高考第一轮学案：函数的值域与最值（一） 知识归纳1． 函数，其中集合 A 是函数的定义域
与的值对应的 y 的值称函数值，函数值的集合称函数的值域
2．最大值定义：设函数的定义域为,如果存在实数满足：（1）对于任意的，都有；（2）存在，使得
称是函数的最大值
你能说出最小值定义吗
3．一般地，如果在区间上函数的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值
请你说出常见函数：一次函数、二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数、正、余弦函数、正、余切函数的值域
（二） 学习要点求函数的值域没有通性解法，只能依据函数解析式的结构特征来确定相应的解法，下面给出常见方法
分析观察法有的函数结构并不复杂，可以通过基本函数的值域及不等式的性质观察出函数的值域
反函数法、分离常数法对于形如的值域，用函数和它的反函数定义域和值域关系，通过求反函数（仅求的表达式）的定义域从而得到原函数的值域
换元法 （1）代数换元对形如的函数常设来求值域；（2）三角换元法对形如的函数常用“三角换元”，如令来求值域
注意:(1)新元的取值范围，(2)三角换元法中，角的取值范围要尽量小
配方法二次函数或可转化为二次函数的函数常用此方法来还求解，但在转化的过程中要注意等价性，特别是不能改变定义域
判别式法 对形如的函数常转化成关于 x 的二次方程，由于方程有实根，即从而求得 y 的范围，即值域
注意：①定义域为 R，②要对方程的二次项系数进行讨论
利用函数的有界性 对形如，由于正余弦函数都是有界函数，值域为[-1，1]，利用这个性质可求得其值域
基本不等式法对形如（或可转化为），可利用求得最值
注意“一正、二定、三等” 8．利用函数单调性求值域 对形如（或可转化为），考虑函数在某个区间上的单调性，结合函数的定义域，可求得值域
