§2.2 等差数列1．等差数列的判定(1)an－an－1＝d (n≥2，d 为常数)⇔{an}是公差为 d 的等差数列；(2)2an＝an－1＋an＋1 (n≥2)⇔{an}是等差数列；(3)an＝kn＋b(k，b 为常数)⇔{an}是公差为 k 的等差数列(n≥1)；(4)Sn＝An2＋Bn(A，B 为常数)⇔{an}是公差为 2A 的等差数列(n≥1)．例如：已知等差数列{an}的前 n 项和 Sn＝(n－1)2＋λ，则 λ 的值是________．解析 Sn＝(n－1)2＋λ＝n2－2n＋(1＋λ)， {an}是等差数列，∴1＋λ＝0，λ＝－1.答案 －12．等差数列的通项公式将 an＝a1＋(n－1)d 可整理为 an＝dn＋(a1－d)，它是关于 n 的一次函数(d≠0)或常函数(d＝0)，它的图象是一条射线上的一群横坐标为正整数的孤立的点，公差 d 是该射线所在直线的斜率．例如：等差数列{an}中，若 an＝m，am＝n (m≠n)，则 am＋n＝______.解析 由点(n，an)，(m，am)，(m＋n，am＋n)三点共线，∴＝.即＝＝－1，易得 am＋n＝0.答案 03．等差数列的前 n 项和公式(1)将公式 Sn＝na1＋d 变形可得 Sn＝n2＋n.故当 d≠0 时，等差数列前 n 项和公式是关于n 的二次函数，它的图象是抛物线 y＝x2＋x 上横坐标为正整数的一群孤立点．(2)＝n＋是关于 n 的一次函数(d≠0)或常函数(d＝0)．当涉及等差数列前 n 项和 Sn的计算问题时，有时设 Sn＝An2＋Bn 的形式更简便快捷．例如：等差数列{an}中，若 Sp＝q，Sq＝p (p≠q)，则 Sp＋q＝__________.解析 设 Sn＝An2＋Bn，则由(1)－(2)得 Ap2＋Bp－Aq2－Bq＝q－p，∴A(p2－q2)＋B(p－q)＝q－p， p≠q，∴A(p＋q)＋B＝－1. Sp＋q＝A(p＋q)2＋B(p＋q)＝[A(p＋q)＋B]·(p＋q)＝－(p＋q)．答案 －(p＋q)4．等差数列的性质(1)若数列{an}和{bn}均是等差数列，则{man＋kbn}仍为等差数列，其中 m、k 均为常数．(2)若 m，n，p，q∈N*，且 m＋n＝p＋q，则 am＋an＝ap＋aq.(3)等差数列中依次 k 项的和成等差数列，即 Sk，S2k－Sk，S3k－S2k，…成等差数列，公差为k2d (d 是原数列公差)．(4)若{an}与{bn}均为等差数列，且前 n 项和分别为 Sn与 S′n，则＝.(5)等差数列{an}中，奇数项的和记作 S 奇，偶数项的和记作 S 偶，则 Sn＝S 奇＋S 偶．当 n 为偶数时：S 偶－S 奇＝d；当 n 为奇数时：S 奇－S 偶＝a 中，S 奇＝a 中，S 偶＝a 中，＝.(其中 a 中是等差数列的中间一项)例如：已知等差数列共有 10 项，其中奇数项之和为 15，偶数项之和为...
