3.3 一元二次不等式及其解法1．一元一次不等式通过同解变形，一元一次不等式可化为：ax>b.若 a>0，则其解集为.若 a<0，则其解集为.若 a＝0，b<0，解集为 R；b≥0，解集为∅.2．三个“二次”的关系通过同解变形，一元二次不等式可化为：ax2＋bx＋c>0 或 ax2＋bx＋c<0 (a>0)．不妨设方程 ax2＋bx＋c＝0 的两根为 x1、x2且 x10 (a>0)的解集，就是二次函数 y＝ax2＋bx＋c (a>0)在 x 轴上方部分的点的横坐标 x 的集合；ax2＋bx＋c<0 (a>0)的解集，就是二次函数y＝ax2＋bx＋c (a>0)在 x 轴下方部分的点的横坐标 x 的集合．从方程观点来看，一元二次方程的根是对应的一元二次不等式解集的端点值．3．简单的高次不等式的解法——数轴穿根法数轴穿根法来源于实数积的符号法则，例如要解不等式(x－1)(x－2)(x－3)>0.我们可以列表如下：x 的区间x<113x－1－＋＋＋x－2－－＋＋x－3－－－＋(x－3)(x－2)·(x－1)－＋－＋把表格的信息“浓缩”在数轴得：据此，可写出不等式(x－1)(x－2)(x－3)>0 的解集是{x|13}．一般地，利用数轴穿根法解一元高次不等式的步骤是：(1)化成形如 p(x)＝(x－x1)(x－x2)…(x－xn)>0 (或<0)的标准形式；(2)将每个因式的根标在数轴上，从右上方依次通过每个点画曲线；(3)奇次根依次穿过，偶次根穿而不过(即不要改变符号)；(4)根据曲线显现出的 p(x)的符号变化规律，标出 p(x)的正值区间和负值区间；(5)写出不等式的解集，并检验零点是否在解集内．4．分式不等式的解法(1)>0⇔f(x)·g(x)>0.(2)<0⇔f(x)·g(x)<0.(3)≥0⇔.(4)≤0⇔.注意：解不等式时，一般情况下不要在两边约去相同的因式．例如：解不等式：>.解 原不等式⇔－>0⇔>0⇔>0⇔x<－或－3.∴原不等式的解集为∪∪(3，＋∞)．5．恒成立问题(1)f(x)≥a，x∈D 恒成立⇔f(x)min≥a，x∈D 恒成立；f(x)≤a，x∈D 恒成立⇔f(x)max≤a，x∈D 恒成立；(2)ax2＋bx＋c>0 恒成立⇔或ax2＋bx＋c<0 恒成立⇔或.6．一元二次方程根的分布我们以 ax2＋bx＋c＝0 (a>0)为例，借助开口方向向上的二次函数的图象给出根的分布的充要条件.根的分布二次函数的图象充要条件x1
