椭圆及其标准方程教学目标1.了解椭圆的实际背景，经历从具体情境中抽象出椭圆的过程.2.了解椭圆的标准方程的推导及简化过程.(难点)3.掌握椭圆的定义、标准方程及几何图形.(重点、易错点)教材整理1椭圆的定义阅读教材P32探究～思考以上部分，完成下列问题.把平面内与两个定点F1，F2的距离之和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距.课堂练习判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)已知F1(－4,0)，F2(4,0)，到F1，F2两点的距离之和为6的点的轨迹是椭圆.()(2)到F1(－4,0)，F2(4,0)两点的距离之和等于12的点的轨迹是椭圆.()(3)到F1(－4,0)，F2(4,0)距离相等的点的轨迹是椭圆.()【解析】(1)×.因为到两定点距离之和小于|F1F2|，动点的轨迹不存在，故(1)错.(2)√.由椭圆定义知，(2)对.(3)×.其动点轨迹是线段F1F2的中垂线，故(3)错.【答案】(1)×(2)√(3)×教材整理2椭圆的标准方程阅读教材P32思考～P34例1以上部分，完成下列问题.椭圆的标准方程焦点在x轴上焦点在y轴上标准方程＋＝1(a＞b＞0)＋＝1(a＞b＞0)焦点坐标(－c,0)，(c,0)(0，－c)，(0，c)a，b，c的关系c2＝a2－b2判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)椭圆的两种标准方程中，虽然焦点位置不同，但都有a2＝b2＋c2.()(2)平面内到两个定点F1，F2的距离之和等于常数的点的集合是椭圆.()(3)椭圆的特殊形式是圆.()(4)椭圆4x2＋9y2＝1的焦点在y轴上.()【答案】(1)√(2)×(3)×(4)×(1)椭圆＋＝1上一点P到一个焦点的距离为5，则P到另一个焦点的距离为()A.5B.6C.4D.10(2)椭圆＋＝1的焦点为F1，F2，AB是椭圆过焦点F1的弦，则△ABF2的周长是()A.20B.12C.10D.6【自主解答】(1)设P到另一焦点的距离为r，则r＋5＝2a＝10，∴r＝5.(2) AB过F1，∴|AB|＝|AF1|＋|BF1|.由椭圆定义知，∴|AB|＋|AF2|＋|BF2|＝4a＝20.【答案】(1)A(2)A在椭圆中若遇到椭圆上的点到焦点的距离及动点到两定点的距离的和为定值的轨迹的判断问题，常常用椭圆的定义进行解决.[再练一题]1.(1)设P是椭圆＋＝1上的点，若F1，F2是椭圆的两个焦点，则|PF1|＋|PF2|等于()A.4B.5C.8D.10(2)已知F1(－4,0)，F2(4,0)，则到F1，F2两点的距离之和等于8的点的轨迹是________.【解析】(1) a＝5，∴|PF1|＋|PF2|＝2a＝10.(2)由于动点到F1，F2的距离之和恰巧等于F1F2的长度，故此动点的轨迹是线段F1F2.【答案】(1)D(2)线段F1F2根据下列条件，求椭圆的标准方程.(1)两个焦点的坐标分别为(－4,0)和(4,0)，且椭圆经过点(5,0)；(2)中心在原点，焦点在坐标轴上，且经过(2,0)和(0,1)两点；(3)焦点在y轴上，与y轴的一个交点为P(0，－10)，P到离它较近的一个焦点的距离等于2.【精彩点拨】本题考查椭圆标准方程的求法，求椭圆的标准方程时，要先判断焦点位置，确定出适合题意的椭圆标准方程的形式，最后由条件确定出a和b即可.【自主解答】(1)由于椭圆的焦点在x轴上，∴设它的标准方程为＋＝1(a>b>0).∴2a＝＋＝10，∴a＝5.又c＝4，∴b2＝a2－c2＝25－16＝9.故所求椭圆的方程为＋＝1.(2)法一当椭圆的焦点在x轴上时，设所求椭圆的方程为＋＝1(a>b>0). 椭圆经过两点(2,0)，(0,1)，∴则∴所求椭圆的方程为＋y2＝1；当椭圆的焦点在y轴上时，设方程为＋＝1(a>b>0). 椭圆经过两点(2,0)，(0,1)，∴则与a>b矛盾，故舍去.综上可知，所求椭圆的标准方程为＋y2＝1.法二设椭圆方程为mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n). 椭圆过(2,0)和(0,1)两点，∴∴综上可知，所求椭圆方程为＋y2＝1.(3) 椭圆的焦点在y轴上，∴可设它的标准方程为＋＝1(a＞b＞0). P(0，－10)在椭圆上，∴a＝10.又 P到离它较近的一焦点的距离等于2，∴－c－(－10)＝2，故c＝8.∴b2＝a2－c2＝36.∴所求椭圆的标准方程是＋＝1.1.求椭圆的标准方程的常用方法是待定系数法，即先由条件确定焦点位置，设出方程，再设法求出a2、b2代入所设方程，也可以简记为：先定位，再定量.2.当焦点位置不确定时，可设椭圆方程为mx2＋ny2＝1(m≠n，m＞0，n＞0).因为它包括焦点在x轴上(m＜n)和焦点在y轴上(m＞n)两类情况，所以可以避免分类讨论，从而达到了简化运算的目的.[再练一题]2.根据下列条件，...
