立体几何专题复习VIP专享VIP免费

立体几何专题复习热点一：直线与平面所成的角例1．（2014，广二模理18）如图，在五面体中，四边形是边长为的正方形，∥平面，，，.（1）求证：平面；（2）求直线与平面所成角的正切值.变式1：（2013湖北8校联考）如左图，四边形中，是的中点，将左图沿直线折起，使得二面角为如右图.（1）求证：平面（2）求直线与平面所成角的余弦值.变式2：[2014·福建卷]在平面四边形ABCD中，AB＝BD＝CD＝1，AB⊥BD，CD⊥BD.将△ABD沿BD折起，使得平面ABD⊥平面BCD，如图15所示．(1)求证：AB⊥CD；(2)若M为AD中点，求直线AD与平面MBC所成角的正弦值．热点二：二面角例2．[2014·广东卷]如图14，四边形ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，∠DPC＝30°，AF⊥PC于点F，FE∥CD，交PD于点E.(1)证明：CF⊥平面ADF；(2)求二面角DAFE的余弦值．变式3：[2014·浙江卷]如图15，在四棱锥ABCDE中，平面ABC⊥平面BCDE，∠CDE＝∠BED＝90°，AB＝CD＝2，DE＝BE＝1，AC＝.(1)证明：DE⊥平面ACD；(2)求二面角BADE的大小．变式4：[2014·全国19]如图11所示，三棱柱ABCA1B1C1中，点A1在平面ABC内的射影D在AC上，∠ACB＝90°，BC＝1，AC＝CC1＝2.(1)证明：AC1⊥A1B;(2)设直线AA1与平面BCC1B1的距离为，求二面角A1-AB-C的大小．热点三：无棱二面角例3．如图三角形BCD与三角形MCD都是边长为2的正三角形，平面MCD⊥平面BCD，AB⊥平面BCD，.（1）求点A到平面MBC的距离；（2）求平面ACM与平面BCD所成二面角的正弦值.变式5：在正方体中，，，且，．求：平面AKM与ABCD所成角的余弦值．变式6：如图是长方体，AB＝2，，求二平面与所成二面角的正切值．高考试题精选1．[2014·四川，18]三棱锥ABCD及其侧视图、俯视图如图14所示．设M，N分别为线段AD，AB的中点，P为线段BC上的点，且MN⊥NP.(1)证明：P是线段BC的中点；(2)求二面角ANPM的余弦值．2．[2014·湖南卷]如图所示，四棱柱ABCDA1B1C1D1的所有棱长都相等，AC∩BD＝O，A1C1∩B1D1＝O1，四边形ACC1A1和四边形BDD1B1均为矩形．(1)证明：O1O⊥底面ABCD；(2)若∠CBA＝60°，求二面角C1OB1D的余弦值．3．[2014·江西19]如图16，四棱锥PABCD中，ABCD为矩形，平面PAD⊥平面ABCD.(1)求证：AB⊥PD.(2)若∠BPC＝90°，PB＝，PC＝2，问AB为何值时，四棱锥PABCD的体积最大？并求此时平面BPC与平面DPC夹角的余弦值．MOHFEDCBA立体几何专题复习答案例1.（2014，广二模）（1）证明：取的中点，连接，则， ∥平面，平面，平面平面，∴∥，即∥.……………1分 ∴四边形是平行四边形.……………2分∴∥，.在Rt△中，，又，得.∴.……………3分在△中，，，，∴，∴.……………4分∴，即. 四边形是正方形，∴.……………5分 ，平面，平面，∴平面.……………6分（2）证法1：连接，与相交于点，则点是的中点，取的中点，连接，，则∥，.由（1）知∥，且，∴∥，且.∴四边形是平行四边形.∴∥，且.……………7分由（1）知平面，又平面，∴.……………8分 ，平面，平面，∴平面.……………9分∴平面. 平面，∴.……………10分 ，平面，平面，∴平面.……………11分zyxMOHFEDCBA∴是直线与平面所成的角.……………12分在Rt△中，.……………13分∴直线与平面所成角的正切值为.……………14分证法2：连接，与相交于点，则点是的中点，取的中点，连接，，则∥，.由（1）知∥，且，∴∥，且.∴四边形是平行四边形.∴∥，且.……………7分由（1）知平面，又平面，∴. ，平面，平面，∴平面.∴平面.……………8分以为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴，建立空间直角坐标系，则，，，.∴，，.……………9分设平面的法向量为，由，，得，，得.令，则平面的一个法向量为.……………10分设直线与平面所成角为，则.……………11分∴，.……………13分∴直线与平面所成角的正切值为.……………14分变式1：（2013湖北8校联考）（1）取中点，连结,则……………2分由余弦定理知………4分又平面,平面………6分（2）以为原点建立如图示的空间直角坐标系，则,………8分设平面的法向量为,由得,取,则.……11分故直线与平面所成角的余弦值为.…………12分变式2：（2014福建卷）解：(1)证明： 平...