函数的最值知识点梳理汇总VIP专享VIP免费

函数的最值1．函数最大值与最小值的含义①定义：一般地，设函数的定义域为，如果存在实数满足：（1）对于任意的，都有；（2）存在，使得。那么，我们称是函数的最大值（maximumvalue）.②几何意义：函数的最大值是图象最高点的纵坐标。一般地，设函数的定义域为，如果存在实数满足：（1）对于任意的，都有；（2）存在，使得。那么，我们称是函数的最小值（minimumvalue）.几何意义：函数的最大值是图象最低点的纵坐标。2．最值的求法1配凑法：研究二次函数的最大（小）值，若给定区间是，先配方成后，当时，函数取最小值为；当时，函数取最大值。若给定区间是，则必须先判断函数在这个区间上的单调性，然后再求最值（见下列例题）（此处顺带说出求值域的方法——配方法）2单调法：一些函数的单调性，比较容易观察出来，或者可以先证明出函数的单调性，再利用函数的单调性求函数的最大值或最小值.3数形结合法：先作出其函数图象后，然后观察图象得到函数的最大值或最小值.4分离系数法5反函数法6构造法7换元法8判别式法3．例题分析（讲解最值求解方法时带出值域）例2．1、求函数在下列各区间上的最值：（1）（2）[1，4]（3）（4）（5）2、求函数的最大值.例3．求函数在区间[2，6]上的最大值和最小值分析：先判定函数在区间[2，6]上的单调性，然后再求最大值和最小值。变式：若区间为呢？例4.求下列函数的最大值和最小值：（1）；（2）.解：（1）二次函数的对称轴为，即.画出函数的图象，由图可知，当时，；当时，.所以函数的最大值为4,最小值为.（2）.作出函数的图象，由图可知，.所以函数的最大值为3,最小值为-3.点评：二次函数在闭区间上的最大值或最小值，常根据闭区间与对称轴的关系，结合图象进行分析.含绝对值的函数，常分零点讨论去绝对值，转化为分段函数进行研究.分段函数的图象注意分段作出.直接观察得到。一、（数形结合法）由函数的定义域结合图象，或直观观察，准确地判断函数值域的方法例1、求函数的值域。练习：求函数的值域。二、配凑法：例:求函数的值域。练习：求函数的值域。三、分离常量法：例3、求函数的值域。练习：1.求函数的值域（1，）2.求函数的值域[-1，1]四、换元法：通过对函数恒等变形，将函数化为易求值域的函数形式，来求值域的方法。例5、求函数的值域。练习：求函数的值域五、反函数法：利用求已知函数的反函数的定义域，从而得到原函数的值域的方法。例4、求函数的值域。练习：求函数的值域。六、判别式法：通过对二次方程的实根的判别求值域的方法。求函数的值域。函数必须同时满足以下几个条件才可以用判别式法求其值域：1）分子分母的最高次为二次的分式函数；2）分子分母无公约数；3）未限定自变量的取值范围。练习：求函数的值域。作业：一、求下列函数的值域：(1)(2)(3)(4)(5)(6)二、已知二次函数的定义域和值域都为[1,b]，(b>1),求b的值.随堂巩固：1、指出下列函数图象的最高点或最低点，→能体现函数值有什么特征？；，2、函数在区间[2，4]上的最大值，最小值是（）A．1、B.、1C.、D.、3、函数的最大值4、若，那么的最小值5、函数的最大值是能力提升1已知函数，求函数的最大值和最小值。2、已知函数（1）当时，求的最值-5,37.（2）求实数的取值范围，使在上的单调函数3、已知函数，若对任意，恒成立，试求实数的取值范围答案：